Slope Trick 小记

参考资料：

• Slope Trick - CCComfy - 博客园
• Slope trick 学习笔记 - henrici3106 - 博客园
• Slope Trick 总结 - rui_er - 博客园

定义

Slope Trick 是一类具有凸性的最优化 DP 的优化手段，其具有效率高，空间小，易于操作等优点。

对于 Slope Trick 而言，其实现方式较为灵活，取决于题目 凸壳 特点，维护出足以还原整个凸壳/有用部分 的信息，进而根据最优值斜率为零的特点进行操作。

使用 Slope Trick 的 DP 常(并非全部)有如下特点：

1. 最优化，有凸性
2. 是连续的一次分段函数
3. 其斜率变化量是整数，且总变化量不大

一般使用如下信息维护凸壳（并非绝对，具体分析）

1. 记录凸壳的起始点\((x,y)\)

2. 记录斜率变化点的 \(x\) 坐标（仅需 \(x\) 坐标，是可重集合，一般存储一个表示斜率变化 \(1\)（根据上下凸壳是 \(1/-1\)）），如 \(f(x)=|x|\) 存储 \(\lbrace 0,0\rbrace\)

   当斜率变化量相当大的时候也可以维护 \((x,\Delta k)\) 表示到 \(x\) 的时斜率变化了 \(\Delta k\)

可并堆由于可以快速合并两个凸壳是极为常用的数据结构，而平衡树由于其堆性质和优秀的扩展性也较为常用。

两个凸函数相加仍然是凸函数。

有一些常见的操作：

1. 合并两个凸壳

   直接合并起始点，然后合并斜率变化点集合

2. 找最值

   找到斜率为零的那一段

   有一类常见的方法就是开两个堆 \(L,R\) 维护 \(0\) 段左右侧的变化点。

3. 加一次函数

   直接加入斜率变化点（根据一次函数的边界），同时维护起始位置

4. 平移

   整体打标记

5. 翻转

   利用平衡树维护，打标记

统计答案：

1. 还原图像找到对应点坐标
2. 记录决策点位置还原整个DP过程

平时思考也可以考虑固定点（最左侧最右侧或者最小值点）反推整个图像变化

习题集

这里更多着墨于 Slope Trick 部分，对于 dp 式的得出可能较为简略

CF713C

首先令 \(a_i\leftarrow a_i-i\) 变为单调不降，显然有 dp：\(f_{i,j}=\min_{k\le j}f_{i-1,k}+|j-a_i|\)

由于 \(|j-a_i|\) 为绝对值函数具有凸性，而 $f_{0} $ 是全零，所以 \(f\) 具有凸性。

考虑到 \(\min_{k\le j} f_{i-1,k}\) 得到的凸壳 \(\lbrace(k,g_k)\rbrace\)，其实是 \(f_{i-1}\) 所代表的凸壳删去了最小值右侧部分。

所以可以维护最小值位置 \(p\)，并舍弃最小值右侧的凸壳（变为一条斜率为 \(0\) 的直线），每次加入 \(a_i\) 时会多出两个转移点 \(\lbrace a_i,a_i\rbrace\) 有如下决策：

1. \(p<a_i\) 此时 \(a_i\) 成为新的最小值点（由 \(x\) 最大的转折点往前推斜率），所以第二个 \(a_i\) 应当删去
2. \(p\ge a_i\) 此时 \(a_i\) 后面（包括了 \(p\)）其斜率会增加 \(1\)，这也将导致 \(p\) 点真实斜率增大，应当删去 \(p\)，同时整个图像（\(a\) 后面点）整体向上平移了 \(p-a_i\) 的长度（可以看作改变后 \(p\) 这个位置也位于新的零段上面，\(a_i\to p\) 这全部斜率都增加了 \(1\)）

CF1534G

首先转曼哈顿，这样就变成了坐标差绝对值的和，然后你每次 \((x-1,y-1),(x-1,y+1)\to (x,y)\)，起点 \((0,0)\)，这就要求了 \(x,y\) 同奇偶。

显然对于 \((x_i,y_i)\) 你走到了 \(x_i\) 之后再激活他是不劣的，所以我们按照 \(x\) 排序，有如下 \(dp\)：

\[f'_{x_i,y}=|y_i-y|+\min_{|t-x_i|\le x_i-x_{i-1}}f_{x_{i-1},t} \]

对于后半部分的式子，在凸壳上其实相当于将最小值点左侧向左，右侧向右平移 \(x_i-x_{i-1}\) 个单位长度，然后将最小值变成一个斜率为零的段。

于是可以利用一个大根堆 \(L\) 和一个小根堆 \(R\) 维护斜率为零的段的左侧点和右侧点，同时记录全局标记 \(dl,dr\) 表示当前平移长度。

每次我们讨论 \(y_i\) 的位置。

• \(y_i\) 位于斜率为零的段上

  左侧斜率变化，右侧斜率变化，\(L,R\) 里都插入 \(y_i-dl,y_i+dl\)（注意懒标记是全局的）

• \(y_i\) 位于斜率为负的段上

  这时候 \(L\) 里最大的点移动到正段，也就是 \(R\) 里加入 \(L\) 的最大值，同时后面的图像也向上平移了那么多，增加答案

• \(y_i\) 位于斜率为正的段上

  类似上一情况处理即可。

校内模拟赛(13)-蛋糕

很自然地转化相对关系为往右走或者往上走，则可以得到一个 dp 式 \(f_{x,y}\) 表示走到了 \((x,y)\) 的最小代价，为了简化边界我们钦定 \(a_{n+1}=0\)

有转移：

\[f_{x,y}=\min(f_{x-1,y}+\max(a_x-y,0),f_{x,y-1}+suf_{x+1}) \]

其中 \(suf\) 是后缀 \(\max\)

注意到也可以写作：

\[f_{x,y}=\min_{k\le y}(f_{x-1,k}+\max(a_x-k,0)-ksuf_{x+1})+ysuf_{x+1} \]

首先可以注意到 \(-ksuf_{x+1}\) 是下凸的，\(\max(a_x-k)\) 是下凸的，初始的 \(f_{0,y}\) 是下凸的（\(f_{0,y}=y·suf_1\)），那么可以假定 \(g_{k}=f_{x-1,k}+\max(a_x-k,0)-ksuf_{x+1}\) 是一个下凸函数，同时加上 \(y·suf_{x+1}\) 这也是个下凸函数，以至于可以归纳有 \(f_x\) 具有凸性。

感性理解其实挺简单的。

那么可以考虑这个操作在干嘛，先分析 \(f,g\) 的关系，相当于是 \(g\) 在最小值后推平成了一条直线，然后再把所有线段斜率加上 \(suf_{x+1}\)

至于 \(g\) 内部在干嘛，相当于是把所有线段斜率减去 \(suf_{x+1}\)，然后插入 \(a_x\) 这个斜率转折点，那么不妨看作先插入 \(a_x\)，将 \([0,a_x]\) 的斜率减去一，接着将全局斜率减去 \(suf_{x+1}\)，删去斜率 \(\ge 0\) 的部分，然后将全局斜率增加 \(suf_{x+1}\)（在这个过程中 \(0\) 点的值肯定是增加了 \(a_i\)，因为你相当于是 \(\le a_i\) 的位置都有这个函数的复合）

这样的话，其实也可以当作是原本（插入 \(a\)） 后，将全局斜率 \(>suf_{x+1}\) 的部分删去，替换为 \(suf_{x+1}\) 即可。

动态维护当前的 \(\max k\) 也就是最右侧斜率即可。

同时我们让 \(a_{n+1}=0\)，则最终的最右侧凸壳也就是最小值位置，其斜率为零，其坐标（\(y\)）显然也是零，因为每个转折点都在其左侧，而我们要求的是 \(f_{n+1,0}\)，倒推回去（我们知道最小值位置是 \(0\)，用转折点回撤）

APIO2016 烟火表演

容易写出朴素DP式，也就是 \(f_{i,j}\) 表示子树 \(i\) 所有叶子到 \(i\) 距离为 \(j\) 的最小代价，有：

\(f'_{i,j}=\min_{k\le j} f_{i,j}+f_{son,k}+|w(i,son)-(j-k)|\)

发现绝对值函数是凸的，所以叶子的 \(f\) 是凸的，进而这相当于是三个凸包的 \((\min,+)\) 卷积，所以 \(f'\) 是凸的，也即我们归纳证明了 \(f\) 是凸的。由于绝对值函数是下凸的，所以 \(f\) 是下凸的。

然后我们考虑一个绝对值函数有什么影响。

由于我们关心最小值，所以我们只关心斜率为 \(0\) 的段，先看看这一段如何变化。

不难发现假设原本段是 \([l,r]\)，变化后等价于 \(\le l\) 的部分向上平移 \(w\)，\([l,r]\) 向右平移 \(w\)，而新的 \([l,l+w]\) 斜率成了负一，后面的斜率全部改成 \(1\)。

我们只关心最小值，所以我们只需要维护半个凸壳，也就是 \(k\le 0\) 的部分。

那么我们可以忽略 \(k>0\) 的变化，现在问题变成了如何在合并儿子后删掉后面。

其实是简单的，有 \(c\) 个儿子就会有 \(c-1\) 个斜率正的段，直接删掉即可（增加了 \(c-1\) 个拐点）。

（我们并没有管它，但是它合并上来后会形成拐点）

发现我们只需要维护凸壳上点的横坐标，维护即可。

也即使用一个可并堆（大根堆删后面），依次合并儿子，然后弹出前面的 \(c-1\) 个，并再弹出两个作为 \([l,r]\) 整体平移后又插回去，注意到点变化后自然会继承前面的负斜率导致前面一截斜率是 \(-1\)。

这里注意对于叶子节点而言，即使这是一个点也要看成一段，这是 \(c-1\) 个的依据（段段合并）。

CF280E

有教育意义的 Slope Trick。

首先我们可以通过平移将 \([a,b]\) 转移为 \([0,b-a]\)，也就是 \(y'_i-y'_{i-1}\in [0.b-a]\)，真实 \(y_i=y'_i+(i-1)a\)。可以也先让 \(x_i'=x_i-(i-1)a\)

那么容易有 \(f_{i,j}=\min_{j-k\in [0,b-a]} f_{i-1,k}+(x_i-j)^2\)

这里唯一的问题就是第二维太大了，我们考虑维护函数图像。

考虑到 \((x_i-j)^2\) 也是凸函数，但是现在它不是一次线性函数了，怎么办？

其实我们仍然可以维护二次分段函数，二次函数的平移与求最值也是能够算出的。

所以我们维护这个二次分段函数。

\(\min_{j-k\in [0,b-a]}\) 这个操作相当于将最值所在位置变成一条长为 \(b-a\) 的水平线段，后面的图像往后水平平移 \(b-a\) 个单位长度即可。

这里就相当于原本最值所在的二次函数在最值所在位置分裂成两个，然后插入一条水平线段，可以 \(O(n^2)\) 暴力维护。

每次找到最值位置，就可以求出 \(y'\)，再倒推计算贡献就好了。

ABC217H

显然建立 \(B\) 的笛卡尔树，设 \(f[i,j]\) 为树 \(i\) 操作后最大值 \(\le j\) 的最小代价。

显然离开子树后子树都是整体操作的

有

\[f[i,j]=\min(f[i,j-1],f[lc,x]+f[rc,y]+\max(\max(x,y)-j,0)\times B_i)\\ \]

显然可以优化为：

\[\begin{aligned} j:&\max\to 0,f'[i,j]=\min(f'[i,j+1]+B[i],f[lc,j]+f[rc,j])\\ j:&0\to \max,f'[i,j]=\min(f'[i,j-1],f'[i,j]) \end{aligned} \]

现在我们做到了 \(O(nv)\)，显然 \(v\) 可以离散化得到 \(O(n^2)\)

换个写法：

\[f[i,j]=\min_{k=0}^{\max(A_i-j,0)}(f[lc,j+k]+f[rc,j+k]+kB_i) \]

\(siz_i=1\) 时是一条直线

当合并时这个形式感觉由于 \(B\) 递增会有斜率递增的凸性

容易发现由于 \(f\) 的递减，\(siz_i=1\) 的时候有凸性，大胆猜测整个函数有凸性。

首先假定成立，则设 \(s(x)=f_{lc}(x)+f_{rc}(x)\) 有凸性且递减，则比较决策对于 \(j\)，\(k ,k+1\),有：

\(s(k)+kB_i-s(k+1)+(k+1)B_i=s(k)-s(k+1)-B_i\)

相当于把 \((k,s(k))\to (k+1,s(k+1))\) 之间的斜率与 \(B\) 取较小值。

那么在原本的斜率递增的情况下会删除一个尾巴/脑袋，还是递增的。

而且至多有 \(siz\) 段不同的斜率，每段最多删一次。

考虑用数据结构维护斜率，然后每次删除增加，我们需要启发式合并？。

不妨维护 \((pos,\Delta y)\)（\(\Delta x=1\)），用可并堆（\(pos_{\min}\) 的左偏树就行），这里是由于斜率变换量较大，维护每个位置的斜率变化总量

讲讲实现（谁再喷我水）：

维护 \(f0_i\) 表示树 \(i\) 凸包的首项，也就是上面的 \(f_{i,0}\)。

然后维护 \((pos,\Delta y)\)，比如一棵树初始化是 \((0,b_i),(a_i,0)\)，和其两个子树的凸包合起来。插入 \((0,b_i)\) 这是因为实现方程里面的 \(f[i,j]=\min_{k=0}^{\max(A_i-j,0)}(f[lc,j+k]+f[rc,j+k]+(j+k)B_i)-jB_i\)。\(j+k\) 这一项，而 \((a_i,0)\) 是卡住上界。

（可以看作是三个凸包，\(f[lc],f[rc]\) 以及 \(0,B_i,2B_i……\) 的和）

然后我们将斜率小于零的部分以及初始位置小于 \(a_i\) 的部分全部删去（因为你必须要操作根节点）。注意删完了要加一个新的首项进去。

接着我们插入 \((0,-b_i)\) ，这是因为实现方程里面的 \(f[i,j]=\min_{k=0}^{\max(A_i-j,0)}(f[lc,j+k]+f[rc,j+k]+(j+k)B_i)-jB_i\)。

注意到我们只需要维护这些二元组的快速合并和查首项，用可并堆（左偏树）即可。