Lyndon 分解 小记

参考：IOI2021 国家集训队论文 胡昊

以下表示字符串的下标都是 $[0,|S|-1]$，设 $n$ 为最后一项下标也就是 $|S|-1$

定义

• 定义简单串 $S$ 指 $\mathrm{\forall }i\in [1,|S|-1],S[i,n]>S$，也即 任意真后缀大于 $S$
• 定义串 $S$ 的 lyndon 分解为 $S=w_1{w}_2\dots w_m$，其中满足 $w_i\ge w_{i+1}$ 且所有的 $w_i$ 均为简单串

性质

1. 串 $S$ 是简单串，当且仅当它小于所有与它循环同构的串

   1. 若 $S$ 是简单串，破环成链之后 $i\ge 1,S[i,n]>S⟹S[i,n+i-1]>S$

   2. 若 $S$ 小于与它循环同构的所有串，则不妨考虑反证法，设：

   $S=A+B$，其中 $B$ 是最短的 $S\ge B$ 的后缀，则根据假设，$BA>S$，也即 $BA>AB\ge B$

   这可以导出 $A,B$ 存在前缀关系

   1. $A$ 是 $B$ 的前缀，不妨设 $B=AC$，那么有 $ACA>AAC\ge AC⟹CA>AC\ge C$。

      又因为 $B$ 是所有串里面最短的，所以这个 $C$ 应当满足 $S<C$ 也就是 $AC\le AAC<C$

      所以可以得到 $C\le AC<C$，显然不成立

   2. $B$ 是 $A$ 的前缀，不妨设 $A=BC$，那么有

      $BBC>BCB\ge B$，也就有 $BC>CB$。

      又因为 $S=BCB<CBB$，这是矛盾的。

2. 若 $S+a$ 是简单串，则 $b>a$，$S+b$ 也是简单串

   对于每个真后缀 $T$，有 $Tb>Ta>Sa,|Tb|<|Sa|$，所以对于 $S$ 的每个真后缀与 $S$ 比较的不同位置涉及不到最后一个位置，所以 $Tb>Sb$

3. Lyndon 分解是唯一的

   不妨假设 $S$ 存在两个 Lyndon 分解，我们删去两个分解开头相同的部分，只剩下 $w_1{w}_2\dots w_m,w_1^{\prime }{w}_2^{\prime }\dots w_{m^{\prime }}^{\prime }$

   那么不妨设 $|w_1|<|w_1^{\prime }|$，则设 $w_1=A,w_1^{\prime }=AB,w_2=BC$，根据 $w_2\le w_1$，以及循环同构最小，可以有：

   $BC\le A<AB<B$

   这显然矛盾

后缀 Lyndon 分解

考虑使用后缀数组对所有后缀进行排序，设 $a_i=\underset{j>i,S[j,n]<S[i,n]}{min}j$ 如果不存在设置 $j=n+1=|S|$，这个可以利用数据结构轻松求出。

那么可以给出 Lyndon 分解为 $[0,a_0-1][a_0,a_{a_0}-1]\dots$

证明感性？其实 $w_i\ge w_{i+1}$ 是容易看出的，我们只需要证明 $w_i$ 是简单串即可。这也是简单的，根据后缀排序可得。

前缀 Lyndon 分解-Duval 算法

定义近似简单串 $S=w^k{w}_0$，其中 $w^k$ 是 $w$ 重复 $k$ 次所得，且 $w_0$ 是 $w$ 的前缀。

显然简单串也是近似简单串。

考虑使用三个指针 $i,j,k$ 表示：$[0,i-1]$ 已经处理，$[i,j-1]$ 是一个近似简单串 $w^k{w}_0$，而 $k$ 是 $j-|w|$。

分类讨论：

• $S_j=S_k$，显然直接扩展即可，$j\leftarrow j+1,k\leftarrow k+1$

• $S_j>S_k$，可以发现此时 $[i,j]$ 是一个简单串，可以看成近似简单串，也就是 $j\leftarrow j+1,k\leftarrow i$

• $S_j<S_k$，可以发现此时 $w_0{S}_j$ 已经小于 $w$ 了，直接把 $w^x$ 划出来变成一个新的 $w$

  也就是不断填入 $w,|w|=j-k$，直到 $i^{\prime }>k$

  $i\leftarrow i^{\prime },j\leftarrow i+1,k\leftarrow i$，因为单个字符也算近似简单串

咕了

题目应用

最小表示法

最小划分

前缀最小后缀

JSOI2019 节日庆典

EC Final 2022 Minimum Suffix