Lyndon 分解 小记
参考：IOI2021 国家集训队论文 胡昊
以下表示字符串的下标都是 \([0,|S|-1]\)，设 \(n\) 为最后一项下标也就是 \(|S|-1\)
定义
- 定义简单串 \(S\) 指 \(\forall i\in [1,|S|-1],S[i,n]>S\)，也即 任意真后缀大于 \(S\)
- 定义串 \(S\) 的 lyndon 分解为 \(S=w_1w_2…w_m\)，其中满足 \(w_i\ge w_{i+1}\) 且所有的 \(w_i\) 均为简单串
性质
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串 \(S\) 是简单串，当且仅当它小于所有与它循环同构的串
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若 \(S\) 是简单串，破环成链之后 \(i\ge 1,S[i,n]>S\implies S[i,n+i-1]>S\)
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若 \(S\) 小于与它循环同构的所有串，则不妨考虑反证法，设：
\(S=A+B\)，其中 \(B\) 是最短的 \(S\ge B\) 的后缀，则根据假设，\(BA>S\)，也即 \(BA>AB\ge B\)
这可以导出 \(A,B\) 存在前缀关系
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\(A\) 是 \(B\) 的前缀，不妨设 \(B=AC\)，那么有 \(ACA>AAC\ge AC\implies CA>AC\ge C\)。
又因为 \(B\) 是所有串里面最短的，所以这个 \(C\) 应当满足 \(S<C\) 也就是 \(AC\le AAC<C\)
所以可以得到 \(C\le AC<C\)，显然不成立
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\(B\) 是 \(A\) 的前缀，不妨设 \(A=BC\)，那么有
\(BBC>BCB\ge B\)，也就有 \(BC>CB\)。
又因为 \(S=BCB<CBB\)，这是矛盾的。
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若 \(S+a\) 是简单串，则 \(b> a\)，\(S+b\) 也是简单串
对于每个真后缀 \(T\)，有 \(Tb>Ta>Sa,|Tb|<|Sa|\)，所以对于 \(S\) 的每个真后缀与 \(S\) 比较的不同位置涉及不到最后一个位置，所以 \(Tb>Sb\)
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Lyndon 分解是唯一的
不妨假设 \(S\) 存在两个 Lyndon 分解，我们删去两个分解开头相同的部分，只剩下 \(w_1w_2…w_m,w'_1w'_2…w'_{m'}\)
那么不妨设 \(|w_1|<|w'_1|\)，则设 \(w_1=A,w'_1=AB,w_2=BC\)，根据 \(w_2\le w_1\)，以及循环同构最小，可以有：
\(BC\le A<AB<B\)
这显然矛盾
后缀 Lyndon 分解
考虑使用后缀数组对所有后缀进行排序，设 \(a_i=\min_{j>i,S[j,n]<S[i,n]}j\) 如果不存在设置 \(j=n+1=|S|\)，这个可以利用数据结构轻松求出。
那么可以给出 Lyndon 分解为 \([0,a_0-1][a_0,a_{a_0}-1]…\)
证明感性？其实 \(w_i\ge w_{i+1}\) 是容易看出的，我们只需要证明 \(w_i\) 是简单串即可。这也是简单的，根据后缀排序可得。
前缀 Lyndon 分解-Duval 算法
定义近似简单串 \(S=w^kw_0\)，其中 \(w^k\) 是 \(w\) 重复 \(k\) 次所得，且 \(w_0\) 是 \(w\) 的前缀。
显然简单串也是近似简单串。
考虑使用三个指针 \(i,j,k\) 表示：\([0,i-1]\) 已经处理，\([i,j-1]\) 是一个近似简单串 \(w^kw_0\)，而 \(k\) 是 \(j-|w|\)。
分类讨论：
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\(S_j=S_k\)，显然直接扩展即可，\(j\leftarrow j+1,k\leftarrow k+1\)
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\(S_j>S_k\)，可以发现此时 \([i,j]\) 是一个简单串，可以看成近似简单串，也就是 \(j\leftarrow j+1,k\leftarrow i\)
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\(S_j<S_k\)，可以发现此时 \(w_0S_j\) 已经小于 \(w\) 了，直接把 \(w^x\) 划出来变成一个新的 \(w\)
也就是不断填入 \(w,|w|=j-k\)，直到 \(i'> k\)
\(i\leftarrow i',j\leftarrow i+1,k\leftarrow i\)，因为单个字符也算近似简单串
咕了
