border 性质梳理

建议看到结论之后直接画图自己推

目前定义 $s[l,r]$ 为字符串 $s$ 的 $[l,r]$，定义 $nx{t}_i$ 为 KMP 算法所得。

定义： $s[1,i]=s[n-i+1,n]$，则称 $s[1,i]$ 是 $s$ 的一个 border

可能证明会比较浅显，但仅供笔者理解。

nxt树定义：连边 $nx{t}_i\to i$ 的一棵树。

1. 周期性

周期定义：对于 $s[1,n]$，一个周期 $t$ 等价于满足 $\mathrm{\forall }i,i+t\in [1,n],s[i]=s[i+t]$
因此有 $s[1,i]$ 为一个 border 等价于存在一个周期 $t=n-i$

Kmp的 $nx{t}_i$ 表示 $s[1,nx{t}_i]=s[i-nx{t}_i+1,i]$，是一个前缀的最大 $border$。

2. 总和性

对于 $s[1,n]$ 的所有 $border$ 长度由以下代码给出：
int t=nxt[n];vector<int>border;while(t)border.push_back(t),t=nxt[t]
这等价于 nxt 树上 $n$ 的所有祖先。

证明仅需考虑假设一个 $nx{t}_{nx{t}_i}<k<nx{t}_i$，那么可以推出 $k=nx{t}_{nx{t}_i}$ 即可。

应用：$s[1,i]$ 在 $s[1,k]$ 的出现次数，等价于 nxt 树上的点 $i$ 的子树中所有 $\le k$ 的节点个数。

变形：在 $t[1,m]$ 中，$s[1,n]$ 的出现次数。构造 $G=s+?+t$ 即可。

3. 匹配性：

对于 $j<k$ 为两个 border。
那么对于原串 $s$，任意一个位置满足 $s[pos-k+1,pos]=s[1,k]$，就有 $s[pos-j+1,pos]=s[1,j]$
证明：因为 $j<k$，所以 $s[1,j]=s[k-j+1,k]$，后续自证不难。
同时在 nxt 树上的视角，$j$ 是 $k$ 的祖先，且 $pos$ 属于子树 $k$。自然属于子树 $j$。

4. 最小表示可行性

对于一个字符串 $s[1,n]$，若 $p$ 为这个字符串循环最小表示的开头位置，一个必要条件是：
存在一个字符串 $t$，满足 $s[p,n]+t$ 是 $s[1,n]+t,s[2,n]+t,\dots s[n,n]+t$ 最小值。

证明：这等价于对于后缀 $s[k,n],k<p$，需要满足 $s[p,n]<s[k,k+n-p]$，对于后缀 $s[k,n],k>p$，需要满足 $s[p,p+n-k]<s[k,n]$

5. 最小后缀相关

记后缀 $su{f}_i=s[i,n]$。
记最小后缀为 $minsuf$
设集合 $P$ 为在所有后缀后追加一个字符串 $t$，可能成为最小后缀的后缀。

更详细地，这个可能成为最小后缀的后缀 $su{f}_k$，满足对于 $t<k$，$s[t,t+n-k]<s[k,n]$，对于 $t>k$，$s[t,n]>s[k,k+n-t]$
性质：

• $P$ 中串互为前缀（因为仅凭当前信息无法判断大小，所以长度较小串是长度较大串的前缀），同时长度较小串也是长度较大串的后缀，所以是 border 关系

• $\mathrm{\forall }S,T\in P,|S|>|T|$，有 $|S|>2|T|$。

  证明：

  若 $|T|<|S|\le 2|T|$，则显然有存在串 $AB$，有 $S=AB,T=AAB$

  其中 $A$ 可空。

  考虑往后加入一个串 $U$ 进行比较，则 $ABU,AABU$ 相当于比较 $BU,ABU$

  • 若 $BU<ABU$，则可以推出 $A$ 非空，且有后缀 $B$ 优于 $AB$ 也就是 $S$，所以 $S$ 并不是最小后缀，矛盾

• 应用：「JSOI2019」节日庆典

$|P|\le \log n$。

6. 弱周期定理

若 $p,q,p>q$ 为 $s[1,n]$ 的周期，$p+q\le n$，那么 $p-q$ 也是 $s[1,n]$ 的周期。
推论：更相减损术得 $gcd(p,q)$ 是 $s[1,n]$ 的周期。
证明：$s_i=s_{i+p}=s_{i+q}⟹s_i=s_{i+p-q}$

7. 周期定理

若 $p,q$ 为 $s[1,n]$ 周期，$p+q-gcd(p,q)\le n$，则 $gcd(p,q)$ 为 $s[1,n]$ 周期。

证明类同。

8. 前缀周期定理

若 $s[1,i]$ 有周期 $d$，$s[1,n]$ 有周期 $a$，若 $d|a,i\ge a$，则 $s[1,n]$ 也有周期 $d$。
证明很简单，考虑 $s[1,a]$ 由若干个 $s[1,b]$ 重复组成。

9. 等差数列定理 - version 1

对于 $2|S|\ge |T|$，串 $S$ 在串 $T$ 中的匹配位置为等差数列。
设匹配位置为 $b_1\sim b_m$。
我们考虑只保留串 $T$ 的 $[b_1-|S|+1,|b_m|]$ 部分，则简化为了一个 $S$ 为 $T$ 的border的问题。
这样的话，我们不妨令这个新的串代替 $T$，下面表述以新串为主。
可以知道由于 $2|S|>|T|$，所以这些匹配位置所代表的区间有交。
那么对于 $i,j$，$T[b_i-|S|+1,b_i]=T[b_j-|S|+1,b_j]$，因此 $b_j-b_i$ 就成为了一个周期，且完全覆盖。
根据弱周期定理，可以得到匹配位置是一个等差数列。

另一种想法：考虑两个周期 $p,q,p<q$，可知 $q=kp$。因此这些个匹配位置之差都是一个周期，进而都是周期。

10. 9.的重要推论：

考虑两个串 $S,T$,定义集合 $G=\{k_1\sim k_n\},k\ge |S|/2,S[1,k]=T[n-k+1,n]$。

那么这也是个等差数列。

证明很简单，取出最大的 $k$，然后很明显剩下的全是 $S[1,k]$ 的border。

11. 等差数列定理 - version 2

一个串的 $border$ 按长度排序后，可以划分为 $O(\log n)$ 个等差序列，也即周期同样可以。
反复运用 10.

将字符串划分为 $[2^{i-1},2^i-1]$ 若干段，这样可以遍历完所有的border。按照这样分组后每组贡献一条 border 等差数列链。

12. 设 $[1,i]$ 的所有 border 长度为 $S(i)$，则 $x\in S(i),x\ne 1⟹x-1\in S(i-1)$

这个感觉挺显然的，因为 若 $[1,x]=[i-x+1,i]$，则 $[1,x-1]=[(i-1)-(x-1)+1,i-1]=[i-x+1,i-1]$

13. 延续 12. 的定义，则有 $S(nx{t}_i)\subseteq S(i)$，且差的那一部分恰可以从 $S(i-1)$ 里 $\ge nx{t}_i$ 的那部分元素补上来

    应用：QOJ 9372