长链剖分 入门

长链剖分

额，其实和树剖差不多，对于每个节点 $u$ 维护 $mx{d}_u$ 为子树内节点深度最大值。

那么令 $Son(u)$ 里取到 $mx{d}_v$ 最大的儿子 $v$ 为长儿子，类似重链剖分处理即可。

同样令连接不同长链的两个点之间的边为虚边。

有如下性质：

• 从根到节点 $u$，所经过虚边个数不超过 $O(\sqrt{n})$，这是因为从 $u$ 开始往上走，所走到的每一条长链其长度都是严格长于当前长链的，即使 $mxd$ 相同，往上走的那条链至少还会加上父亲，这告诉我们走到根，所有的长链最多也就是 $1+2+3\dots \dots \le n$
• 每条链底是叶子，且是子树内最深节点
• 节点 $u$ 的 $k$ 级祖先所在长链长度不小于 $k$。

$O(n\log n)-O(1)$ 树上 $k$ 级祖先

我们先利用倍增预处理出 $f_{u,i}$ 为 $u$ 的 $2^i$ 级祖先，$l{g}_i=\lfloor {\log }_2(i)\rfloor$

查询 $u$ 的 $k$ 级祖先，先查 $x=f_{u,l{g}_k}$，$k^{\prime }=k-2^{l{g}_k}$

这样就满足 $x$ 所在长链长度 $>k^{\prime }$。

我们对于每个链，维护从链顶往上走 $0\sim len$ 和往下走 $0\sim len$ 的节点，就可以分类讨论 $de{p}_x-de{p}_{to{p}_x}$ 与 $k^{\prime }$ 的大小关系找到 $k$ 级祖先了

在存储时，我们可以类似树剖进行 $dfn$ 重标号，将 $u$ 存下 $to{p}_u$ 往上走 $de{p}_u-de{p}_{to{p}_u}$ 步的节点。

void dfs(int u,int fa){
    f[u][0]=fa;dep[u]=dep[fa]+1;mxd[u]=dep[u];
    for(int i=1;i<=19;++i)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(auto v:e[u])if(v!=fa){
        dfs(v,u);if(mxd[v]>mxd[u])son[u]=v,mxd[u]=mxd[v];
    }
}
void dfs2(int u,int tp,int lt){
    dfn[u]=++idx;down[idx]=u;up[idx]=lt;top[u]=tp;
    if(!son[u])return ;
    dfs2(son[u],tp,f[lt][0]);
    for(auto v:e[u])if(v!=f[u][0]&&v!=son[u])dfs2(v,v,u);
}
int get(int x,int k){
    if(!k)return x;
    x=f[x][lg[k]];
    k-=1ll<<lg[k];
    int d=dep[x]-dep[top[x]];
    if(d>=k)return down[dfn[x]-k];
    return up[dfn[top[x]]+k-d-1];
}

优化 dp

长链剖分可以优化 维护仅与深度有关的一个信息 的 dp。

例如子树内深度为 $k$ 的节点个数/子树内深度出现次数众数等。

一般形式是设 $d{p}_{u,k}$ 为子树内深度取 $k$ 的答案。

在 dp 时采用 dfs 形式，设当前是 $dfs(u,tp)$，我们遵循以下步骤：

• 若 $u=tp$，开一个 vector 长度为 $mx{d}_u-de{p}_u+1$ 存储每个深度 $-de{p}_{tp}$ 的 dp 值。
• 优先递归长儿子
• 递归非长儿子，并暴力合并信息（枚举长儿子第二维 $j$ 并找到在 $d{p}_{tp}$ 的相应位置进行更新）
• 加入点 $u$ 的信息
• 统计答案

注意到存储的时候有个 $de{p}_{tp}$ 的下标偏移。

模板：求各个点子树内各个节点深度的众数。

void dfs2(int u,int tp){
    if(u==tp)f[u].resize(mxd[u]-dep[u]+1);
    if(son[u])dfs2(son[u],tp);
    for(auto v:e[u])if(v!=lt[u]&&v!=son[u]){
        dfs2(v,v);
        for(int i=0;i<f[v].size();++i){
            f[tp][i-dep[tp]+dep[v]]+=f[v][i];
            if(f[tp][i-dep[tp]+dep[v]]>mx[tp]||(f[tp][i-dep[tp]+dep[v]]==mx[tp]&&i-dep[tp]+dep[v]<id[tp]))mx[tp]=f[tp][i-dep[tp]+dep[v]],id[tp]=i-dep[tp]+dep[v];
        }
    }
    f[tp][dep[u]-dep[tp]]++;
    if(f[tp][dep[u]-dep[tp]]>mx[tp]||f[tp][dep[u]-dep[tp]]==mx[tp]&&dep[u]-dep[tp]<id[tp])mx[tp]=f[tp][dep[u]-dep[tp]],id[tp]=dep[u]-dep[tp];
    ans[u]=id[tp]-dep[u]+dep[tp];
    // cout<<"dfs2 "<<u<<' '<<mx[tp]<<" "<<id[tp]<<"\n";
}