CF2018E2 Solution

CF2018E2 Solution

先考虑E1的做法。

首先我们如果钦定一组 $k$ 条线段的话，容易求出最大组数。

简单来讲就是将所有端点按照右端点排序，这样只需要考虑一个偏序，然后扫描，将区间 $[l_i,r_i]$ 加一，当发现某个点的值为 $k$ 时，就说明分成了一组方案。

此时我们一定清空，然后记录当前的 $r$，也就是后面选的点左端点不得小于等于 $r$。

直觉上，这样贪心选择一定更优。设这样的答案为 $k$。

我们的答案可以表示为 $maxk·f(k)$。

而我们发现，对于一个固定的 $f(k)$，它是随着 $k$ 单调不升的，这很显然。

所以对于一个固定的 $f(k)$，可以通过二分的形式得到 $maxk$，这样就足以在 $O(n\log n\sqrt{n\log n})$ 解决问题，足以通过 E1。

事实上在这里可以通过整体二分求得所有的 $f(k)$，它的复杂度足以降至 $O(n^{1.5}\log n)$，这是因为在第 $d$ 层时，值域被划分为了 $O(\frac{n}{2^d})$ 长的 $2^d$ 段，在 $[\frac{n}{2^{d/2}},n]$ 范围内 $f\le 2^{d/2}$，而 $[1,\frac{n}{2^{d/2}}]$ 又仅有 $O(2^{d/2})$ 段，所以这里总段数是 $O(2^{d/2})$ 的，总的整体二分复杂度就是 $O(\sum ^{{\log }_{2}n}{2}^{d/2})=O(\sqrt{n})$ 的。

那么考虑优化线段树这个过程，一个很重要的技巧是，我们只关心全局最大值，以及后缀加。

那么可以使用并查集，维护后缀最大值出现位置。

首先，我们使端点互不相同，具体地，将原本的所有端点排序（如果是相同值，原本为右端点的放在后面），然后依次给其赋值 $1\sim 2n$。

这显然不会破坏相交关系也不会新增。

然后我们利用并查集维护差分，每次后缀加只会造成新的 $r$ 成为一个后缀最大值，以及增加的最大的 $<l$ 的后缀最大值端点删去。

利用并查集维护这个即可。