拉格朗日插值

• 应用范围：求一个 $n$ 次多项式过 $(x_1,y_1)\sim (x_n,y_n)$

• 构造思想：

  • 设 $f_i(x)$ 使得 对于 $x_i\ne x_j$，$f(x_j)=0$，且 $f(x_i)=1$，注意并不是对全体 $R$ 满足。
  • 由上 $F(x)=\sum y_i{f}_i(x)$ 即为所求。
  • 构造方法：$f_i(x)=\frac{\prod _{j=1,j\ne i}^n(x-x_j)}{\prod _{j=1,j\ne i}^n(x_i-x_j)}$

也就是：

$$\begin{array}{r}F(x)=\sum _{i=1}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}\end{array}$$

计算时可以直接带值 $O(n^2)$ 计算，也可以利用背包的操作先求出 $\prod _{i=1}^n(x-x_i)$ 的具体系数 $g_0\sim g_n$，然后除掉一个 $(x-x_i)$ 后的 $g^{\prime }$，其实相当于 $-x_i{g}_k^{\prime }+g_{k-1}^{\prime }$。根据这个式子可以直接确定 $g_0^{\prime }$，进而逐步确定 $g_{1\sim n}^{\prime }$

在实际应用中 往往维护 $x_i$ 对应的 $y_i$，也就是点值，最后一步再插回原多项式

我们可以在 $O(n^2)$ 的复杂度内还原原多项式。

例题 CF995F，code