拉格朗日插值

• 应用范围：求一个 \(n\) 次多项式过 \((x_1,y_1)\sim (x_n,y_n)\)

• 构造思想：

  • 设 \(f_i(x)\) 使得 对于 \(x_i\neq x_j\)，\(f(x_j)=0\)，且 \(f(x_i)=1\)，注意并不是对全体 \(R\) 满足。
  • 由上 \(F(x)=\sum y_if_i(x)\) 即为所求。
  • 构造方法：\(f_i(x)=\frac{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x-x_j)}{\prod_{j=1,j\neq i}^n(x_i-x_j)}\)

也就是：

\[\begin{aligned} F(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j\neq i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)} \end{aligned} \]

计算时可以直接带值 \(O(n^2)\) 计算，也可以利用背包的操作先求出 \(\prod_{i=1}^n(x-x_i)\) 的具体系数 \(g_0\sim g_n\)，然后除掉一个 \((x-x_i)\) 后的 \(g'\)，其实相当于 \(-x_ig'_k+g'_{k-1}\)。根据这个式子可以直接确定 \(g'_0\)，进而逐步确定 \(g’_{1\sim n}\)

在实际应用中 往往维护 \(x_i\) 对应的 \(y_i\)，也就是点值，最后一步再插回原多项式

我们可以在 \(O(n^2)\) 的复杂度内还原原多项式。

例题 CF995F，code