cf1860f

萌萌题，但是细节比较麻烦。

首先注意到，$ax+by=\lambda$，由于我们只需要若干括号的相对顺序，其中一个未知数完全可以舍去，因为可以通过另一个未知数达到相同值。

设我们只关心 $x$ 的取值，变为按照 $ax+b$ 排序。那么设 $k^{\prime }=a$，变成 $\lambda =k^{\prime }x+b$，这是一个直线方程，而我们需要选取一个 $x$ 坐标。

那么如何判断一个括号序列合法呢？将左括号看作 $1$，右括号看作 $-1$。则对于该括号序列而言，任意前缀之和不小于 $0$，且全局和为零，即满足条件。

通过以上分析，原问题化为：给定若干条直线，第 $i$ 条权值为 $w_i(w_i\in \{1,-1\})$，需要选出一个 $x$，使得将对应 $y$ 坐标排序后，前缀和任意位置不小于零。

这是一个简单的问题。注意到 $n\le 1500$，这说明直线不超过 $3000$ 条，也即交点最多只有 $9\times {10}^6$ 个，而一看时间限制有十秒，稳稳地 $n^2\log n$。

可以考虑将每一个交点处理出来。排序，从左往右处理每一个交点，并且动态维护前缀和即可。

详细地说：

根据直线求交公式：$x=\frac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$，我们处理出 $x>0$ 的两条直线的交点。（注意选择的横坐标需要是正实数。）

然后记录一下这两条直线的编号。将这些交点排序，依次处理。

处理时，我们动态维护每个直线的排名 $r{k}_i$，执行到点 $(x,y,p_1,p_2)$ 时，先撤销 $p_1,p_2$ 对前缀和的影响，再互换二者的 $rk$，加上其影响。

最后判断全局最小值是否小于零即可。

前缀和的维护可以使用线段树，执行区间修改和最小值维护。

说一些细节和实现上的技巧：

1. 在最初的时候，我们以 $x=0$ 做一次排序为最初的 $rk$，这里可以方便地直接将所有直线排序。排序规则比较复杂，首先按 $b$ 自小到大，$b$ 相同的时候按照 $k$ 自小到大排序。若 $k$ 仍然相同，说明两直线重合，此时按照其权值贪心地自大到小即可。

2. 在求交的时候需要注意通过对 $a$ 的排序，我们只需要枚举 $(i,j),j>i$，但需要满足 $k_i>k_j$。注意是严格大于。

3. 为了保证精度，交点的横坐标可以存下分子分母，否则可能 $eps$ 需要设置的非常小才可以通过，比如 $eps={10}^{-18}$。

4. 在对点排序时，先按照 $x$ 坐标排序，若相同则按照左右两端点的权值排序。需要注意的是右端点优先左端点，原因是右端点在交换后排名更靠前。

5. 在修改点的时候，若遇到 $r{k}_l>r{k}_r$ 的情况，可以直接略去。

   这种情况是很巧妙的解决。此时会有多线共交，两个端点在与其他直线操作的时候，就已经更改了排名，此处是满足了更改后 $r{k}_l^{\prime }>r{k}_r^{\prime }$ 的情况，故不用操作。

   事实上，这里它潜在地完成了一次排序操作，即将排名倒转。

   如果不进行该操作会在第三个点出错。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define N 3050
struct line{
	int k,b,w;
	bool operator<(const line t)const {
		return b==t.b?(k==t.k?w>t.w:k<t.k):b<t.b;
	} 
}a[N];
struct node{
	int l,r,lz,mn;
}t[N<<2];
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
void pushdown(int x){
	if(t[x].lz!=0){
		t[lc].mn+=t[x].lz;t[lc].lz+=t[x].lz;
		t[rc].mn+=t[x].lz;t[rc].lz+=t[x].lz;
		t[x].lz=0;
	}	
}
void pushup(int x){
	t[x].mn=min(t[lc].mn,t[rc].mn);
}
void build(int x,int l,int r){
	t[x].l=l,t[x].r=r,t[x].mn=t[x].lz=0;
	if(l==r)return ;
	int mid=l+r>>1;
	build(lc,l,mid);build(rc,mid+1,r);
	pushup(x);
}
void change(int x,int l,int r,int k){
	if(l<=t[x].l&&t[x].r<=r){
		t[x].mn+=k,t[x].lz+=k;return ;
	}
	pushdown(x);
	if(t[lc].r>=l)change(lc,l,r,k);
	if(t[rc].l<=r)change(rc,l,r,k);
	pushup(x);
} 
#define db double
struct point{
	int p,q,l,r;
	bool operator<(const point  b)const {
		return p*b.q==q*b.p?(a[r].w==a[b.r].w?a[l].w<a[b.l].w:a[r].w>a[b.r].w):p*b.q<q*b.p;
	}
}p[N*N];
int tot,rk[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int T;cin>>T;
	while(T--){
		int n;cin>>n;tot=0;
		n<<=1;build(1,1,n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i].k>>a[i].b;char c;
			cin>>c;a[i].w=(c==')'?-1:1);
			rk[i]=i;
		} 
		sort(a+1,a+n+1);build(1,1,n);
		for(int i=1;i<=n;i++)change(1,i,n,a[i].w);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=n;j>i;j--)
				if(a[i].k>a[j].k)p[++tot]=(point){a[j].b-a[i].b,a[i].k-a[j].k,i,j};
		sort(p+1,p+tot+1);int tag=0;
		if(t[1].mn>=0){
			cout<<"Yes\n";continue;
		}
		for(int i=1;i<=tot;i++){
			int x=p[i].l,y=p[i].r;
			if(rk[x]>rk[y])continue;
			change(1,rk[x],n,-a[x].w);
			change(1,rk[y],n,-a[y].w);
			swap(rk[x],rk[y]);
			change(1,rk[x],n,a[x].w);
			change(1,rk[y],n,a[y].w);
			if(t[1].mn>=0){
				tag=1;break;
			}
		}
		if(tag)cout<<"Yes\n";
		else cout<<"No\n";
	}
} 
// 2 9
// x+7,2x+5,4x+1