CF1867F—构造最小同构树

有意思的问题。设原树为 $G$。

手玩一下，不难发现，若子树 $T$ 与 $G$ 中任何一颗子树都不同构，那么对于任意树 $S$，其中 $T$ 是 $S$ 的子树，$S$ 同样不与 $G$ 中任何一颗子树同构。

进一步地，假设我们已经知道了一颗最小的 $T$，我们使得剩下的 $|G|-|T|$ 棵子树全部包含 $T$，则可以使得最大不构子树数为 $|G|-|T|+1$。这对应的构造方案就是构造长为 $|G|-|T|$ 的链，并将 $T$ 接在下面。

这显然是最优解，对这个解进行任何的改动都会导致答案变差。

那么进一步研究，可以得出 $|T_{min}|$ 必然是一个极小的数字。为什么？设 $x=|T_{min}|$，则设 $a_i$ 为 $i$ 个点构成的不同构树个数，设 $b_i$ 为 $i$ 个点构成的不同构二叉树的个数，则显然有 $a_i\ge b_i$，而我们知道后者是卡特兰数，一个增长为指数级的数列。

则必然有 $x<a_m$，其中 $a_m\ge |G|$ 且 $m$ 为满足条件的最小正整数。

这里可以推出 $x$ 的范围非常小。考虑枚举 $x$，判断是否可行。只要构造出了一个符合的 $T$，即可立即输出。

那么怎么判断呢？很简单，我们将 $x$ 可以构成的每一棵树全部枚举，然后依次判断是否同构即可。这个时间复杂度？

可以先预处理出 $G$ 中的不同构子树以便判断。

时间复杂度怎么说，设单次判断时间复杂度为 $t$，则总时间复杂度为 $O(nt)$。因为在暴力时最多枚举 $n$ 个树。

进一步地，具体实现怎么办？显然我们需要对一棵同构树进行哈希。

哈希方法不同，比较常见的有基于素数的哈希，这里介绍一种常数较大但绝无冲突的办法。（毕竟会有人对着代码卡哈希函数）

我们可以使用一个集合作为哈希函数。显然一个树必然是由更小的树组合而来。我们可以考虑对原树中每一棵不同构树标号，并且它所对应的集合为它的儿子的编号集合（注意是可重有序集）。

如下：

#define ve vector<int>
map<ve ,int>h;
int id[N],n,t,cnt,num;
int get(ve &a){
	if(h.find(a)!=h.end())return h[a];
	int id=h.size();h[a]=id;
	return id;
}
void dfs(int u,int fa){
	ve a;a.clear();
	for(auto v:g[u]){
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		a.push_back(id[v]);
	}
	sort(a.begin(),a.end());
	id[u]=get(a);cnt=max(cnt,id[u]);
	return ;
}

这样做常数是极大的，但总体时间复杂度没有影响。

然后我们考虑进行枚举拼凑这一步。先枚举 $x$ 的大小，然后我们用一个暴力的深度优先搜索找 $T$ 的子树，进行拼凑 $x$。只要最终组合的 $T$ 不存在同构树，那就找到了解，输出即可。

方案怎么输出？我们本身就记录了每一棵树的构成儿子，可以直接遍历这棵树，并且记录当前父亲编号进行输出。

注意最后如果搜不到，此时 $n$ 必然极小，直接输出原树即可。

code