CF八九月杂题选做

1863F

有一个长为 $n$ 的数组 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 。

在每次操作中，你可以把数组分成两段，留下一段，扔掉另一段，要求前者的异或和不小于后者的。重复操作，直到只剩下一个数为止。

对于每个 $i$ ，问最后剩下来的可不可能是第 $i$ 个数。

有 $t$ 组数据。 $1 \leq t \leq 10 000$ ， $1 \leq n \leq 10 000$ ， $1 \leq a_{i} \leq 2^{60}$ ， $\sum n \leq 10 000$ 。

容易想到一个暴力DP，也即设 $f_{l, r}$ 为是否可能保留下 $[l, r]$ ，最初 $f [1, n] = 1$ 。

对于 $f [l, r]$ ，可以从 $f [x, r] (x < l), f [l, y] (y > r)$ 两方面转移，同样是比较异或和进行转移。

时间复杂度 $O (n^{3})$ 。

如何优化? 发现 $n \leq 10000$ ，复杂度必然是卡死 $O (n^{2})$ 。

我们来发现一下性质。设 $s [l, r]$ 为 $[l, r]$ 的异或和，则若 $s [l, k] \geq s [k + 1, r]$ ，就可以实施转移。但条件？

发现硬生生比较是不可取的，而注意到 $s [l, k] \oplus s [k + 1, r] = s [l, r]$ ，这里就引导我们发现性质了。

引理：对于三个数 $i, j, k$ ，若 $k = i \oplus j$ ，设 $x$ 为 $2^{⌊ \log_{2} k ⌋}$ 。则若 $i & x = x$ ，则有 $i > j$ 。当 $x = 0$ 时有 $i = j$ 。

证明：当 $x = 0$ 时，显然 $i = j$ ，下面我们讨论 $x \neq 0$ 的情况。

根据异或运算的性质，显然有 $k$ 的第 $i$ 位是 $1$ 则说明 $i, j$ 其中之一为 $1$ ，而若为 $0$ 则说明二者这一位相同，比较无意义。

那么最高位的 $1$ 就是第一个二者不同的二进制位，而 $x$ 的意义也就是如此，谁占有这个 $1$ 位谁更大，故引理成立。

这样我们就发现，我们仅仅只需要比较这一位即可得到二者大小。

有什么用处呢？这是很妙的。我们成功将比较 $s [l, x], s [x + 1, r]$ 转化为了比较 $s [l, x], s [l, r]$ 。

也即若 $f [l, r]$ 是否可以被更新，当它作为前部分时，只要有一个合法的区间 $f [l, x] (x > r)$ ，满足 $s [l, x]$ 的最高位在 $s [l, r]$ 中同样为1，即可实现转移。

那么这是是容易维护的，发现这个最高位不过 64 种可能性，完全可以用一个数进行压缩，也即我们维护 $g_{l}$ 表示目前已经知晓的区间中，左端点为 $l$ 且可以被转移到的区间的最高位的 $1$ 的按位或和即可。

只要二者的按位与不为0，则必定可以转移。（当然需要特判一下是否出现了 $s [l, r] = 0$ 的扯淡情况。可以再开一个数组维护。

左边也是同理的。

#define N 10550
#define int long long
bool f[N][N];
int s[N],h[N],g[N],mnl[N],mnr[N];
int get(int x){
	int res=__builtin_clzll(x);
	return 1ll<<(63-res);
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int T;cin>>T;
	while(T--){
		int n;cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i],s[i]^=s[i-1],h[i]=g[i]=mnl[i]=mnr[i]=0;
		f[1][n]=1;h[1]|=get(s[n]),g[n]|=get(s[n]);
		if(!s[n])mnl[1]=mnr[n]=1;
		for(int len=n-1;len;--len){
			for(int l=1,r=len;r<=n;l++,r++){
				f[l][r]=0;int k=s[r]^s[l-1];
				if(mnl[l]||(k&h[l]))f[l][r]=1;
				if(mnr[r]||(k&g[r]))f[l][r]=1;
				if(f[l][r])h[l]|=get(k),g[r]|=get(k),mnl[l]|=(k==0),mnr[r]|=(k==0);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)cout<<f[i][i];
		cout<<"\n";
	}
}