KMP简单应用
KMP简单应用
算法原理就不讲了，抄书没有意思请原谅我讲不清楚
下面给出几个\(next\)数组的性质：
-
\(i-next_i\)为最小循环元长度(不论是否能够完整循环)、
-
\(next_i\)再套若干层\(next\)仍然满足\([1,j]=[i-j+1,i]\)
证明这些在下面的题里面
Power Strings
所求的循环元长度为\(i-next_i\)，其循环次数为\(\frac{i}{i-next_i}\)，特别的，\(i=next_i\)时，整个字符串就是循环元、
证明：
根据循环元的性质：\([1,next_i]=[i-next_i+1,i]\)，整体减去\([i-next_i+1,next_i]\)，可以得到\([1,i-next_i]=[i-next_i+1，2i-2next_i]\)。以此类推可得整个字符串都被覆盖掉了
if(m%(m-nxt[m]))cout<<"1\n";
else cout<<m/(m-nxt[m])<<"\n";
练习题：Period
最长前缀
考虑转化问题。
首先对集合中的每一个串对源字符串进行匹配，就能得到所有的匹配成功区间\([l_i,r_i]\)
然后问题就化为：给定若干区间，求其最长能够覆盖区间的\([1,i]\)
设\(f_i\)表示\([1,i]\)能否被覆盖，将所有区间以右端点为第一关键字，左端点为第二关键字排序，使用双指针扫描法，使得当前区间\(k\)满足\(r_k=i\),则\(f_i=f_i|f_{l_k-1}\)
void init(int id){
int m=strlen(a[id]+1);
for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
while(j&&a[id][j+1]!=a[id][i])j=nxt[id][j];
if(a[id][j+1]==a[id][i])++j;
nxt[id][i]=j;
}
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
while(j&&b[i]!=a[id][j+1])j=nxt[id][j];
if(b[i]==a[id][j+1])++j;
if(j==m){
g[++num]={i-m+1,i};j=nxt[id][j];
}
}
}
void get(){
while(cin>>a[++cnt]+1){
if(a[cnt][1]=='.'){
--cnt;break;
}
}
while(cin>>b[++n]);
}
get();
for(int i=1;i<=cnt;i++)init(i);
int l=1;
f[0]=1;int ans=0;
sort(g+1,g+num+1);
for(int r=1;r<=n;r++){
while(l<=num&&g[l].r<=r){
f[r]|=f[g[l].l-1];++l;
}
if(f[r])ans=r;
}
Seek the Name, Seek the Fame
容易发现，对于\(i\)来说，\(next\)数组的定义即\([1,next_i]=[i-next_i+1,i]\)。
则\(next_i\)就是最大长度。根据\(next\)的性质，答案显然是对其嵌套\(next\)即可
int k=m,cnt=0;
while(k){
num[++cnt]=k;
k=nxt[k];
}
while(cnt){
cout<<num[cnt--]<<" ";
}
字符串大师
根据Power Strings，容易知道\(i-next_i=pre_i\)，所以\(next_i=i-pre_i\)。故可以求出\(next\)数组。
因为字典序最小，第一个字符肯定是a
然后考虑进行递推，设已经求出了\(1\sim i-1\)的字符，现在求解\(i\)
那么若\(next_i\neq 0\)，则等于\(a[i]=a[next_i]\)
否则的话，根据\(next\)的定义，有\(a[next_{i-1}+1]\neq a[i]\)，因为失配了嘛在这里
而且类比上一题，也是进行嵌套的都不行，也即：
int num=nxt[i-1];
while(num){
usd[a[num+1]-'a']=1;num=nxt[num];//这个位置不等
}
然后一个需要注意的点是，这个地方不能重复取开头的字符a，原因是\(next_i=0\)
所以再枚举字符取最小就行
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;cin>>x;
nxt[i]=i-x;
}
a[1]='a';cout<<'a';
for(int i=2;i<=n;i++){
memset(usd,0,sizeof usd);
if(nxt[i]!=0){a[i]=a[nxt[i]];cout<<a[i];continue;}
int num=nxt[i-1];
while(num){
usd[a[num+1]-'a']=1;num=nxt[num];
}
for(int j=1;j<=25;j++){
if(!usd[j]){
a[i]=j+'a';
cout<<a[i];break;
}
}
}
}
基因改造
人类智慧 题
容易发现，本质上在这里，C是啥用没有的。。。
然后在这个定义的匹配规则中，等价于要字符串的结构一样才行。
也即给字符建立映射用字符集重组只会一样。
举个例子：1113221与4447664是本质相同的，重组之后都可以得到1112331
那么对于结构相同的字符，字符相对关系不变。也即任意一类字符都只会整体改变，则其距离始终不变
同理，显然知道了每一类字符的距离也就可以求出一个本质相同的字符串
那么就很明晰了，定义其权值为\(i-pos[i]\)，其中\(pos\)为\(i\)上一个出现的位置。特别的，不存在就令其等于0。
则两个位置\(i,j(i<j)\)的充要条件是：\(val[i]=val[j]\)或者\(val[j]=0\)且\(val[i]>j\)。理解很简单吧，要么是真的相等，要么就是长度为\(j\)意义下两个都为0.
使用KMP匹配即可。
cin>>t>>c;
while(t--){
num=0;
cin>>n>>m;
memset(pos,0,sizeof pos);
for(int i=1;i<=n;i++){
int x;cin>>x;
va[i]=(pos[x]?i-pos[x]:0);pos[x]=i;
}
memset(pos,0,sizeof pos);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x;cin>>x;
vb[i]=(pos[x]?i-pos[x]:0);pos[x]=i;
}
for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
while(j&&vb[i]!=vb[j+1]&& !(vb[j+1]==0&&vb[i]>j))j=nxt[j];
if(vb[i]==vb[j+1]||(vb[j+1]==0&&vb[i]>j))++j;
nxt[i]=j;
}
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
while(j&&(va[i]!=vb[j+1]&& !(vb[j+1]==0&&va[i]>j)))j=nxt[j];
if(va[i]==vb[j+1]||(vb[j+1]==0&&va[i]>j))++j;
if(j==m){
ans[++num]=i-m+1;j=nxt[j];
}
}
cout<<num<<"\n";
for(int i=1;i<=num;i++)cout<<ans[i]<<" ";
cout<<"\n";
}
似乎在梦中见过的样子
注意到\(n\le 1.5\times 10^4\),\(n^2\)可以过
那么对于\(A+B+A\)形串，可以想起Seek the Name, Seek the Fame题，只要长度\(m<len-m\)就合法
这启发我们枚举后缀，求\(next\)，然后对于每个后缀来说，枚举其每一个\(next\)，用Seek the Name, Seek the Fame的方法，求出\(m\ge k\)的数量即可。
注意到
位置相同但拆分不同的子串算同一子串
则对于一个位置找到了就马上break
void init(){
cin>>a+1>>k;n=strlen(a+1);
}
void get(int st){
tot=0;
for(int i=st;i<=n;i++)b[++tot]=a[i];
for(int i=2,j=0;i<=tot;i++){
while(j&&b[j+1]!=b[i])j=nxt[j];
if(b[j+1]==b[i])++j;
nxt[i]=j;
}
}
void solve(int tot){
for(int i=1;i<=tot;i++){
int m=nxt[i];
while(m>=k){
if(i-2*m>=1){
ans++;break;
}
m=nxt[m];
}
}
}
int main(){
init();
for(int i=1;i<=n;i++){
get(i);
solve(tot);
}
cout<<ans<<"\n";
}
