『Solution』未来日记

未来日记

纪念第一道自己独立想出Solution的Ynoi

题意：支持区间定值修改和区间第$k$大，数据范围${10}^5$，空间限制$512MB$，时间限制$1000ms$

显然1e5是分块，考虑怎么做

区间定值修改，做过这个的人都知道使用冰茶姬和桶来支持

但显然，这题桶无法满足我们的需求，求第$k$大通用三个方法：可持久化线段树，树套树，值域分块优化莫队

这里前两个一看就是废物，值域分块貌似有优化的空间？

那么考虑使用值域分块来优化，一看lxl开的$512MB$，$100$%是对每个块开一个值域进行维护。

所以说，这时候就涉及到怎么搞的问题了

首先对于区间定值修改，整块直接把$x$位置删掉(冰茶姬维护siz，把其有的数插入到$y$的位置，并将冰茶姬连上

对于散块先暴力重构然后修改(冰茶姬归零)

再次对于区间第$k$大查询，怎么搞呢？

值域分块使得我们只需要快速地知道某个数出现次数就可以找$k$大了

总的做法：

按照套路：设$sum[i][j]$表示前$i$个序列块中前$j$个值域块里出现的次数总数，$cnt[i][j]$表示前$i$个序列块中数$j$出现次数总数

显然可以递推求解，复制前一个复杂度$O(n)$，总共$O(\sqrt{n})$次。递推总计复杂度$O(n)$，所以总预处理复杂度$O(n\sqrt{n})$

再考虑询问：对于这个块，可以先将散块开个桶统计，复杂度$O(\sqrt{n})$，然后直接在整块两端进行差分统计，按照值域分块，一块一块地跳，找到块之后一个个找即可。

最后考虑修改怎么搞：我们以块内此数字第一次出现的位置的下标为代表元

设$sit[i][j]$表示第$i$个块第一个值为$j$的数的下标，$id[i][j]$表示第$i$个块代表元$j$所代表的的值(与$f$构成一对映射)，设$f[i]$表示冰茶姬

则$a[x]=id[pos[x]][f[x]]$，其中$pos[x]$表示$x$所属块编号

散块直接按照这个式子还原原序列然后暴力修改重构，并重新统计$cnt,sum$，由于只涉及两个值，所以复杂度$O(\sqrt{n})$

对于整块，设当前第$i$个块：

1. 区间没有$x$：跳过

2. 区间有$x$没$y$，则$sit[i][y]=sit[i][x],id[i][sit[i][x]]=y,sit[i][x]=0$

3. 有$x$还有$y$，非常麻烦，看上去只能暴力重构，事实上这是正确的。Why?

   容易发现，每一个块进行某次操作，出现这种情况，会使得其维护值的个数少一。有操作2的存在，我们可以发现，维护值的个数是单调不增的，所以操作三实际上每个块只会执行$O(\sqrt{n})$次，总复杂度$O(n)$，每个块的复杂度总和是$O(n\sqrt{n})$级的。

这里我们忽视了一个问题：$cnt,sum$的更新问题

事实上，在块的后移的时候用变量tmp维护即可。

坑人的是：经过bdfs，我知道了，分块块长350,值域块块长317才能跑过……

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 105500
#define re register
#define S 375
int V=100000;
inline void read(int &x){
	x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
int n,m,siz,a[N],tot,tt[N],L[S],R[S],pos_v[N],cnt1[S],cnt2[N],cnt[S][N],scnt[S][N],sum[S][S],f[N],sit[S][N],block,len_v=317;
inline int find(int x){
	return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);
}
inline int get(int x){
	return (x+block-1)/block;
}
inline void build(int id,int l,int r,int x,int y){
	re int tmp=0;
	tot=0;
	sit[id][x]=sit[id][y]=0;
	for(re int i=L[id];i<=R[id];i++){
		a[i]=a[find(i)];
		if(a[i]==x||a[i]==y)tt[++tot]=i;
	}
	for(re int i=l;i<=r;i++)if(a[i]==x)a[i]=y,tmp++;
	cnt[id][x]-=tmp,cnt[id][y]+=tmp;
	for(re int i=1;i<=tot;i++)f[tt[i]]=tt[i];
	for(re int i=1;i<=tot;i++){
		if(!sit[id][a[tt[i]]])sit[id][a[tt[i]]]=tt[i];
		else f[tt[i]]=sit[id][a[tt[i]]]; 
	}
	for(int i=id;i<=siz;i++){
		scnt[i][x]-=tmp,scnt[i][y]+=tmp;
		if(pos_v[x]!=pos_v[y])sum[i][pos_v[x]]-=tmp,sum[i][pos_v[y]]+=tmp;
	}
}
inline void change(int l,int r,int x,int y){
	re int lpos=get(l),rpos=get(r);
	if(lpos==rpos)build(lpos,l,r,x,y);
	else {
		build(lpos,l,R[lpos],x,y);
		build(rpos,L[rpos],r,x,y);
		int tmp=0;
		for(re int i=lpos+1;i<rpos;i++){
			if(sit[i][x]){
				if(!sit[i][y])sit[i][y]=sit[i][x],a[sit[i][x]]=y;
				else f[sit[i][x]]=sit[i][y];
				sit[i][x]=0,tmp+=cnt[i][x],cnt[i][y]+=cnt[i][x],cnt[i][x]=0; 
			}
			scnt[i][x]-=tmp,scnt[i][y]+=tmp;
			if(pos_v[x]!=pos_v[y])sum[i][pos_v[x]]-=tmp,sum[i][pos_v[y]]+=tmp;
		}
		for(re int i=rpos;i<=siz;i++){
			scnt[i][x]-=tmp,scnt[i][y]+=tmp;
			if(pos_v[x]!=pos_v[y])sum[i][pos_v[x]]-=tmp,sum[i][pos_v[y]]+=tmp;
		}
	}
}
inline int query(int l,int r,int k){
	re int lpos=get(l),rpos=get(r),cnt=0;
	if(lpos==rpos){
		for(re int i=l;i<=r;i++)a[i]=a[find(i)],cnt1[pos_v[a[i]]]++,cnt2[a[i]]++;
		for(re int i=1;i<=len_v;i++){
			cnt+=cnt1[i];
			if(cnt>=k){
				cnt-=cnt1[i];
				for(re int j=(i-1)*len_v+1;j<=i*len_v;j++){
					cnt+=cnt2[j];
					if(cnt>=k){	
						for(re int i=l;i<=r;i++)cnt2[a[i]]--,cnt1[pos_v[a[i]]]--;
						return j;
					}
				}
			}
		}
			
	}
	else {
		for(re int i=l;i<=R[lpos];i++)a[i]=a[find(i)],cnt1[pos_v[a[i]]]++,cnt2[a[i]]++;
		for(re int i=L[rpos];i<=r;i++)a[i]=a[find(i)],cnt1[pos_v[a[i]]]++,cnt2[a[i]]++;
		for(re int i=1;i<=len_v;i++){
			cnt+=cnt1[i]+sum[rpos-1][i]-sum[lpos][i];
			if(cnt>=k){
				cnt-=cnt1[i]+sum[rpos-1][i]-sum[lpos][i];
				for(re int j=(i-1)*len_v+1;j<=i*len_v;j++){
					cnt+=cnt2[j]+scnt[rpos-1][j]-scnt[lpos][j];
					if(cnt>=k){
						for(re int i=l;i<=R[lpos];i++)cnt1[pos_v[a[i]]]--,cnt2[a[i]]--;
						for(re int i=L[rpos];i<=r;i++)cnt1[pos_v[a[i]]]--,cnt2[a[i]]--;
						return j;	
					}
				}
			}
		}
	}
}
int main() {
	read(n);read(m);
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		read(a[i]);f[i]=i;
	}
	block=350,siz=(n+block-1)/block;	
	for(re int i=1;i<=V;i++)pos_v[i]=(i-1)/len_v+1; 
	for(re int i=1;i<=siz;i++){
		L[i]=R[i-1]+1,R[i]=min(L[i]+block-1,n);
		for(re int j=L[i];j<=R[i];j++){
			if(!sit[i][a[j]])sit[i][a[j]]=j;
			else f[j]=sit[i][a[j]];
			cnt[i][a[j]]++;
		}
	}
	for(re int i=1;i<=siz;i++){
		for(re int j=1;j<=len_v;j++)sum[i][j]=sum[i-1][j];
		for(re int j=L[i];j<=R[i];j++)sum[i][pos_v[a[j]]]++;
		for(re int j=1;j<=V;j++)scnt[i][j]=scnt[i-1][j]+cnt[i][j];
	}
	while(m--){
		re int opt,x,y,l,r,k;
		read(opt);
		if(opt==1){
			read(l),read(r),read(x),read(y);
			if(x==y)continue;//114514
			change(l,r,x,y);
		}
		else {
			read(l),read(r),read(k);
			printf("%d\n",query(l,r,k));
		}
	}
	return 0;
}