单调队列优化DP

今天学习了单调队列优化DP，其模型为：

$$f_i=min/\underset{L(i)\le j\le R(i)}{max}\{k{f}_j+val(i,j)\}$$

其中$L,R$是具有单调性的函数，$val(i,j)=h_1(i)+h_2(j)$，是分别关于$i,j$的函数之和。

其原理在于：

对于$f_i$的两个在范围内的决策$j,k$而言，由于$L,R$具备单调性，故设决策$j$在时间次序上优于$k$，若在此基础上，(以$min$函数为例)，$h_2(j)<h_2(k)$，此时的$j$在当前和以后都会优于$k$，进而排出掉决策$k$。

其常见应用在于：

1. 维护区间最值等信息
2. 对最优化DP进行优化

在这里，举出几个单调队列的应用：

维护定长区间最大值

问题描述：在$O(n)$的时间复杂度内求出每个位置$i$中$\underset{i-m\le k<i}{min}{a}_k$

分析：在单调队列的过程中，每次取队头(如果队头距离过远就先出队)为最优解，然后插入的时候一直将比其大的数删掉即可。

核心Code:

for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	int h=1,t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(h<=t&&i-q[h]>m)h++;
		if(h<=t)printf("%d\n",a[q[h]]);
		else puts("0");
		while(h<=t&&a[q[t]]>=a[i])t--;
		q[++t]=i;
	} 

维护限长最大子段和

题目描述：给定数列$a_1\sim a_n$，求出其长度不超过$m$的最大子段和。

考虑DP，设$f_i$表示以$a_i$为结尾的答案，则容易得到：

$f_i=\underset{i-m<k\le i}{min}su{m}_i-su{m}_{k-1}$

将$su{m}_i$提出，实际需要维护的是$maxsu{m}_{k-1}$，扔进单调队列即可。

	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];
	t=1,q[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(h<=t&&i-q[h]>m)h++;
		if(h<=t)ans=max(ans,a[i]-a[q[h]]);
		while(h<=t&&a[q[t]]>=a[i])t--;
		q[++t]=i;
	}
	cout<<ans;

维护可消除最大子段和

题目描述：给定一个长度为$n$ 的序列，你有一次机会选中一段连续的长度不超过$m$的区间，将里面所有数字全部修改为 0。

请找到最长的一段连续区间，使得该区间内所有数字之和不超过$p$ 。$1\le a_i$

这里注意到：对于右端点向右进行移动，左端点是具备单调性，这启发我们维护右端点，左端点看情况增加。

而由于所有的数都是正整数，所以选中区间长度一定是$m$，于是我们可以预处理出每一个长为$m$的区间之和，使用单调队列维护它。

设$f_i$表示以$i$为区间右端点的答案，则$f_i=maxlen$，这个$len$满足$su{m}_i-su{m}_{i-len}-(su{m}_{k+m-1}-su{m}_{k-1})$。而之前说到了，左端点具有单调性，所以我们可以设出$l$，每次判断不得不增加时再进行增加。所以我们可以使用单调队列来维护后面的$(su{m}_{k+m-1}-su{m}_{k-1})$来更新答案。

Code:

	cin>>n>>p>>d;ans=d;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=sum[i+d-1]-sum[i-1];
	int l=1;t=1,q[1]=0;
	for(int i=d;i<=n;i++){
		while(h<=t&&f[q[t]]<=f[i-d+1])t--;
		q[++t]=i-d+1;
		while(sum[i]-sum[l-1]-f[q[h]]>p){
			++l;while(h<=t&&q[h]<l)h++;
		}
		if(q[h]>=l)ans=max(i-l+1,ans);
	}

分段单调队列

这里就没例题了，实在想要可以用单调队列做一做龙珠。事实上只需要预处理最小值，不需要单调队列

也即，我们对答案的计算可以分为：

$an{s}_i=min\{f_1(k)+g_1(i),f_2(k)+g_2(i),f_3(k)+g_3(i)\dots \}$

这种多种不同决策造成的可能。常见的是拆开abs，分类讨论，多种情况等等。在这样的问题下，我们可以对每一个部分都开一个单调队列进行维护，最后计算答案即可。

模型总结

总的来说，一般使用单调队列优化DP的动态规划方程都是如下形式($max$同样)：

$$f_i=\underset{L(i)\le k\le R(i)}{min}\{g_1(j)+g_2(i)\}$$

其中$L,R$俩个函数具备相同的非严格单调性。在此时，我们可以使用单调队列维护$g_1(j)$，一般而言步骤如下：

1. 检查队头，剔除越界的决策
2. 使用队头更新答案
3. 将新的决策插入队列尾，在插入同时排除掉不会比新决策优秀的决策

注意事项

1. 注意到>=,>,<=,<的区别，尤其小心边界
2. 检查是否需要提前在队列中插入初始值(一般是0)
3. 分类讨论很重要
4. 所有的操作都是在队列里有元素的情况下进行的
5. 有时需要先将决策插入，再更新答案，具体情况具体分析
6. ~~实在单调队列调不好了推荐换优先队列无脑插，一般可以拿到70%_90%的分~
7. 推荐手写队列，STL用不好会蹦出奇奇怪怪的错误，而且常数大