单调队列优化DP
今天学习了单调队列优化DP，其模型为：
其中\(L,R\)是具有单调性的函数，\(val(i,j)=h_1(i)+h_2(j)\)，是分别关于\(i,j\)的函数之和。
其原理在于：
对于\(f_i\)的两个在范围内的决策\(j,k\)而言，由于\(L,R\)具备单调性，故设决策\(j\)在时间次序上优于\(k\)，若在此基础上，(以\(\min\)函数为例)，\(h_2(j)<h_2(k)\)，此时的\(j\)在当前和以后都会优于\(k\)，进而排出掉决策\(k\)。
其常见应用在于：
- 维护区间最值等信息
- 对最优化DP进行优化
在这里，举出几个单调队列的应用：
维护定长区间最大值
问题描述：在\(O(n)\)的时间复杂度内求出每个位置\(i\)中\(\min_{i-m\le k<i}a_k\)
分析：在单调队列的过程中，每次取队头(如果队头距离过远就先出队)为最优解，然后插入的时候一直将比其大的数删掉即可。
核心Code:
for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
int h=1,t=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(h<=t&&i-q[h]>m)h++;
if(h<=t)printf("%d\n",a[q[h]]);
else puts("0");
while(h<=t&&a[q[t]]>=a[i])t--;
q[++t]=i;
}
维护限长最大子段和
题目描述：给定数列\(a_1\sim a_n\)，求出其长度不超过\(m\)的最大子段和。
考虑DP，设\(f_i\)表示以\(a_i\)为结尾的答案，则容易得到：
\(f_i=\min_{i-m<k\le i}sum_i-sum_{k-1}\)
将\(sum_i\)提出，实际需要维护的是\(\max sum_{k-1}\)，扔进单调队列即可。
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];
t=1,q[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(h<=t&&i-q[h]>m)h++;
if(h<=t)ans=max(ans,a[i]-a[q[h]]);
while(h<=t&&a[q[t]]>=a[i])t--;
q[++t]=i;
}
cout<<ans;
维护可消除最大子段和
题目描述：给定一个长度为\(n\) 的序列，你有一次机会选中一段连续的长度不超过\(m\)的区间，将里面所有数字全部修改为 0。
请找到最长的一段连续区间，使得该区间内所有数字之和不超过\(p\) 。\(1\le a_i\)
这里注意到：对于右端点向右进行移动，左端点是具备单调性，这启发我们维护右端点，左端点看情况增加。
而由于所有的数都是正整数，所以选中区间长度一定是\(m\)，于是我们可以预处理出每一个长为\(m\)的区间之和，使用单调队列维护它。
设\(f_i\)表示以\(i\)为区间右端点的答案，则\(f_i=\max len\)，这个\(len\)满足\(sum_{i}-sum_{i-len}-(sum_{k+m-1}-sum_{k-1})\)。而之前说到了，左端点具有单调性，所以我们可以设出\(l\)，每次判断不得不增加时再进行增加。所以我们可以使用单调队列来维护后面的\((sum_{k+m-1}-sum_{k-1})\)来更新答案。
Code:
cin>>n>>p>>d;ans=d;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];
for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=sum[i+d-1]-sum[i-1];
int l=1;t=1,q[1]=0;
for(int i=d;i<=n;i++){
while(h<=t&&f[q[t]]<=f[i-d+1])t--;
q[++t]=i-d+1;
while(sum[i]-sum[l-1]-f[q[h]]>p){
++l;while(h<=t&&q[h]<l)h++;
}
if(q[h]>=l)ans=max(i-l+1,ans);
}
分段单调队列
这里就没例题了，实在想要可以用单调队列做一做龙珠。事实上只需要预处理最小值，不需要单调队列
也即，我们对答案的计算可以分为：
\(ans_i=\min\lbrace f_1(k)+g_1(i),f_2(k)+g_2(i), f_3(k)+g_3(i)… \rbrace\)
这种多种不同决策造成的可能。常见的是拆开abs，分类讨论，多种情况等等。在这样的问题下，我们可以对每一个部分都开一个单调队列进行维护，最后计算答案即可。
模型总结
总的来说，一般使用单调队列优化DP的动态规划方程都是如下形式($\max $同样)：
其中\(L,R\)俩个函数具备相同的非严格单调性。在此时，我们可以使用单调队列维护\(g_1(j)\)，一般而言步骤如下：
- 检查队头，剔除越界的决策
- 使用队头更新答案
- 将新的决策插入队列尾，在插入同时排除掉不会比新决策优秀的决策
注意事项
- 注意到
>=,>,<=,<的区别，尤其小心边界 - 检查是否需要提前在队列中插入初始值(一般是0)
- 分类讨论很重要
- 所有的操作都是在队列里有元素的情况下进行的
- 有时需要先将决策插入，再更新答案，具体情况具体分析
- ~~实在单调队列调不好了推荐换优先队列无脑插，一般可以拿到70%90%的分~
- 推荐手写队列，STL用不好会蹦出奇奇怪怪的错误，而且常数大
