Magic题解

题意简述：

给定 $n$ 个数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，设对于数 $x$ ， $| x |$ 表示其在十进制下的位数，也即 $10^{| x |} \leq x < 10^{| x | + 1}$

需要计算：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} a_{i} \oplus a_{j}

数据范围：

$n \leq 5 \times 10^{4}, a_{i} \leq 10^{18}$

分析

这个数据范围启发我们设计一个带 $\log$ 的算法

如果我们设

$S_{k} =$ $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = i + 1}^{n} [a_{i} \oplus a_{j} \geq k]$

则我们要求解的答案是：

\sum_{k = 1}^{18} k (S_{10^{k}} - S_{10^{k + 1}}) + \frac{n (n - 1)}{2} = S_{0} + S_{10} + \dots + S_{10^{18}}

所以问题转化为求解 $S$

关于异或的问题，不难想到使用字典树进行求解，设我们已经将所有的 $a$ 插入到字典树中。

数据范围是允许我们将求解每一个 $S$ 的复杂度为 $O (n \log n)$ .这正好就是在字典树中遍历 $n$ 个数的复杂度。

这启发我们设计函数solve(s,t)表示对于 $s$ 计算其对 $S_{t}$ 的贡献。

设 $s, t$ 的二进制表示分别为 $(b_{k}, b_{k - 1} \dots b_{1}), (c_{k}, c_{k - 1} \dots c_{1})$

对于答案的计算，可以将其分为两部分：可以在当前位解决的和留在后续解决的。

则我们设指针 $p$ 从 $k$ 遍历到 $1$ ，按位统计贡献，将这个过程看作我们不断填数的过程，设所填数为 $x$ ，其二进制表示为 $(d_{k}, d_{k - 1} \dots d_{1})$

分类讨论：

$b_{p} = 1, c_{p} = 1$ 。此时，我们若想要保持 $x \oplus s > t$ 的可能，就需要让 $x \oplus s$ 的第 $p$ 位为1，也即我们填上 $d_{p} = 0$ ，此时我们无法计算出答案
$b_{p} = 0, c_{p} = 1$ ，类比情况一，填上 $d_{p} = 1$
$b_{p} = 1, c_{p} = 0$ ，此时我们将 $d_{p}$ 填为 $1 / 0$ ，当填为 $0$ 时，第 $p - 1 \sim 1$ 位无论填什么都可以对答案产生贡献，所以直接累加上 $s i z [t [p] [0]]$ 的贡献并将 $d_{p}$ 填为 $1$ 即可。
$b_{p} = 0, c_{p} = 0$ ，类比情况三，可以得到算上 $s i z [t [p] [1]]$ 的贡献然后将 $d_{p}$ 填为0即可。

核心代码：

int solve(int s,int tt){//在trie中查找与s异或比t大的数的数量 
	int p=1,ans=0;
	for(int i=60;i>=0;i--){
		if(!p)return ans;
		int x=(s>>i)&1;
		if((tt>>i)&1){
			p=t[p][x^1];
		}
		else{
			ans+=siz[t[p][x^1]];
			p=t[p][x];
		}
	}
	return ans;
}