收集邮票-数学期望

收集邮票

题目描述

有 $n$ 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 $n$ 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 $1/n$。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 $k$ 次邮票需要支付 $k$ 元钱。

现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行，一个数字 $N$（$N\le 10000$）。

输出格式

输出要付出多少钱，保留二位小数。

样例 #1

样例输入 #1

3

样例输出 #1

21.25

题解

首先明确：设抽$k$次需要的代价：$\sum _{i=0}^{k}i=\frac{k^2+k}{2}$

这启发我们将平方与一次项分开计算，设$f_i$表示已经买到了$i$种邮票，还要买期望$f_i$次才能买到$n$种，而$g_i$表示已买$i$个，还要买的次数平方的期望。

则容易写出状态转移方程：

$$\{\begin{array}{rl}{f}_i& =\frac{i}{n}{f}_i+\frac{n-i}{n}{f}_{i+1}\\ g_i& =\frac{i}{n}(g_i+2f_i+1)+\frac{n-i}{i}(g_{i+1}+2f_{i+1}+1)\end{array}$$

移项化简可以得到：

$$\{\begin{array}{rl}{f}_i& =f_{i+1}+\frac{n}{n-i}\\ g_i& =\frac{i}{n}(g_i+2f_i+1)+\frac{n-i}{i}(g_{i+1}+2f_{i+1}+1)\end{array}$$

#define N 5005005
double f[N],g[N];
int n;
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=n-1;i>=0;--i){
		f[i]=f[i+1]+1.0*n/(n-i);
		g[i]=1.0*n/(n-i)+2.0*i/(n-i)*f[i]+2.0*f[i+1]+g[i+1];
	}
	printf("%.2f\n",(f[0]+g[0])/2.0);
}