P3538 题解

P3538

超弱省选题

给出一个由小写英文字母组成的字符串S，再给出q个询问，要求回答S某个子串的最短循环节。

其中\(|S|\le 5\times 10^5,q\le 10^6\)

分析：

首先：字符串\(S[l,r]\)拥有长为\(x\)的循环节的充要条件为：\(S[l,r-x]=S[l+x,r]\)。证明很简单，可以小思考一下。

那么显然任意循环节的长度一定是\(r-l+1\)的约数，这启发我们分解约数进行暴力枚举。

至于判断字符串相等，Hash即可，这时候你想到了一个结合Hash的枚举约数暴力算法，得到了\(90pts\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 500050
int prime[N],vis[N],n,m;
unsigned long long hsh[N];
char a[N];
vector<int>d[N];
void find(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;i*j<=n;j++){
			d[i*j].push_back(i);
		}
	}
}
int power(unsigned long long a,int b){
	unsigned long long ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	} 
	return ans;
}
void init(){
	cin>>n;
	cin>>a+1;
	cin>>m;
}
void Hash(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		hsh[i]=1ull*hsh[i-1]*131+(a[i]-'a');
	}
} 
int get(int l,int r){
	return hsh[r]-hsh[l-1]*power(131ull,r-l+1);
}
int solve(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	int len=r-l+1;
	int siz=d[len].size();
	for(int i=0;i<siz;++i){
		int x=d[len][i];
		if(get(l,r-x)==get(l+x,r)){
			return x;
		}
	}
	return len;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	find();
	Hash();
	while(m--){
		printf("%d\n",solve());
	}
}

很明显，这个算法虽然平均复杂度是\(O((q+n)\log_2 n)\)，但是可以被卡。

它的复杂度主要在于分解约数时。这启发我们考虑进一步缩小约数范围，也即若一个存在一个循环节，长度为\(x\)，那么更小的循环节一定是\(x\)的约数，这启发我们从大到地去枚举循环节，具体是这样：

先我们来食用线性筛处理出每个数的最小质因数，那么因为约数也都是质因数组合而来，可以考虑对于最初的\(len=r-l+1\)，枚举其所有的质因数(这一步可以用线性筛不断除以最小质因数，有几个幂就枚举几个)，那么除掉之后若仍然是循环节，就将目前的答案除掉这个枚举的质因数，否则枚举下一个。显然这个方法最后求出来的答案是一个循环节，再者我们枚举了\(len\)所有的质因数，将不除掉的这些质因数除掉都会影响答案，那么不除掉的所有质因数的乘积就是答案。
所以答案正确，然后又因为我们枚举所有的质因数及其幂次，复杂度也是严格小于等于\(O(\log_2 n)\)的，故我们做到了严格的\(O(q\log_2 n)\)。

#define N 500050
int prime[N],vis[N],n,m,cnt;
unsigned long long hsh[N],p[N];
char a[N];
map<pair<int,int>,int>ans;
vector<int>d[N];
void find(){
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			vis[i]=i;
			prime[++cnt]=i;
		}
		for(int j=1;j<=cnt;j++){
			if(prime[j]>vis[i]||prime[j]*i>n)break;
			vis[prime[j]*i]=prime[j];
		}
	}
}
void init(){
	cin>>n;
	cin>>a+1;
	cin>>m;
}
void Hash(){
	p[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		hsh[i]=1ull*hsh[i-1]*131+(a[i]-'a');
		p[i]=p[i-1]*131;
	}
} 
int get(int l,int r){
	return hsh[r]-hsh[l-1]*p[r-l+1];
}
int solve(){
	int l,r;
	cin>>l>>r;
	int tmp=r-l+1,lst=r-l+1;
	if(get(l,r-1)==get(l+1,r))return 1;
	while(vis[lst]>1){
		if(get(l,r-tmp/vis[lst])==get(l+tmp/vis[lst],r)){
			tmp=tmp/vis[lst];
		}
		lst/=vis[lst];
	}
	return tmp;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	find();
	Hash();
	while(m--){
		printf("%d\n",solve());
	}
}