光速幂

光速幂

神犇们YY出来的算法

问题：

求$p^{q}modn$，其中$p$是定值，$q$的上限给定，$n\le {10}^9+7$，是定值。即必须底数固定，模数固定。

询问次数大于${10}^7$
很明显，这题卡了快速幂，所以我们考虑利用上$p$是定值这一条件。考虑拆解$q$，容易发现：$q=\sqrt{q}\lfloor \frac{q}{\sqrt{q}}\rfloor +qmod\sqrt{q}$。

证明这个式子的话，由于$qmod\sqrt{q}=q-\sqrt{q}\lfloor \frac{q}{\sqrt{q}}\rfloor$，带入即可

那么就有先用扩欧将$q$固定到一定范围，然后由于我们上面的式子为

$$p^q=p^{\sqrt{q}·\frac{q}{\lfloor \sqrt{q}\rfloor }}{p}^{pmod\sqrt{q}}$$

考虑预处理出$p$的$1\sim \sqrt{n}$次方，$p^{\sqrt{n}}$的$1\sim \frac{n}{\sqrt{n}}$次方，那么对于一个询问$q$，将$q$分解为$k\sqrt{n}+t$的方式即可解决