无知时诋毁原神——题解

P8880 无知时诋毁原神

题意简述：

给定一个\(0\sim n-1\) 的排列 \(c\)。构造两个同样为 \(0\sim n-1\) 的排列的 \(a，b\)，满足 \(\forall i\in[1，n]，c_i=(a_i+b_i)\bmod n\)。如果不存在，请输出 \(-1\)。

题解

构造题考脑子……

模 \(n\) 在数据范围下等价于是让我们求出两个序列 \(a，b\) 使得 \(a_i+b_i=c_i+n或c_i\)。由于每一个 \(i\) 相互独立，所以实际上我们不需要管 \(c\) 的顺序，我们只考虑拼出这 \(n\) 个数即可。
首先直觉告诉我们，方案数应该是有不少的，但应该有一种固定的构造方案。并且拼出大于等于 \(n\) 的数与小于 \(n\) 的数的个数应该是比较均衡的。我们来先玩玩小数据看看规律。

\(n=3\)：

\(a\)：0，2，1。

\(b\)：0，2，1。

\(n=5\)：

\(a\)：0，3，1，4，2。

\(b\)：0，3，1，4，2。

\(n=7\)：

\(a\)：0，4，1，5，2，6，3。

\(b\)：0，4，1，5，2，6，3。

\(n=2，4，6\)。无解

我们发现，在 \(3，5，7\) 三种情况，我们都可以构造出一组 \(a，b\) 完全一样的数据。下面我们来证明当 \(n\) 为奇数的时候存在这样一种构造方案。

首先证明充分性：\(a，b\) 完全一样，意味着拼出来的数都是偶数，那么小于 \(n\) 的偶数只有 \(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) 个，并取 \(0，2，4……n-1\)。

这里就用去了 \(0\sim \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\)，考虑剩下的数 \(\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil\sim n-1\)。

将这些数全部减去 \(\frac{n}{2}\)（注意这里带个小数）就得到了两数之和最终减去 \(n\) 的结果。此时剩下的数就取 \(0.5，1.5，2.5，3.5……\frac{n-2}{2}\)，这些数加上就得到了所有的奇数 \(1，3，5，7……\)，故在 \(n\) 为奇数的时候这个方案是优秀的。

然后再来思考一下偶数的情况，为什么我们试三个偶数都是无解呢？

由于刚刚的奇数情况，我们用到了奇偶性的思想，考虑再从奇偶性的角度考虑证明偶数无解或者一种优秀的构造方案。

由于是偶数，\(a_i+b_i \bmod n\) 的奇偶性是不变的。那么奇数就只能由一奇一偶来拼出来。由于构造前后奇数个数不变，所以我们就用去了 \(a\) 中所有的奇数与 \(b\) 中所有的偶数，剩下的数也只能奇偶拼出奇数，故这是错误的，偶数情况无解。

故就得到了本题代码：

int n,a[5000005],b[5000050],vis[5000500];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)b[(i<<1)%n]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		a[i]=b[a[i]];
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(vis[a[i]]){
			puts("-1");
			return 0;
		}
		vis[a[i]]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";
	puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<a[i]<<" ";
	return 0;
}