关于组合计数的一个小技巧

组合计数小技巧

一个关于组合计数的小技巧：这个问题是这样的，给定$n$个数$a_1\sim a_n$，要求出这$n$个数中所有组合的乘积之和

例如$n=3$时，即为：

$a_1+a_2+a_3+a_1{a}_2+a_2{a}_3+a_1{a}_3+a_1{a}_2{a}_3$

这个问题的解决是这样的

设$f(i)$表示前$i$项的和，则有

$$f(i)=a_i+f(i-1)+a_{i}f(i-1),f(1)=a_1$$

证明显然，拆开即得，从组合意义的角度来说，也即算上$a_i$单独一项，再算上之前的所有不含$a_i$的项，再将之前不含$a_i$的项乘上$a_i$