NOIP2022T1题解

[NOIP2022] 种花（民间数据）

题目描述

小 C 决定在他的花园里种出 $\mathtt{\text{CCF}}$ 字样的图案，因此他想知道 $\mathtt{\text{C}}$ 和 $\mathtt{\text{F}}$ 两个字母各自有多少种种花的方案；不幸的是，花园中有一些土坑，这些位置无法种花，因此他希望你能帮助他解决这个问题。

花园可以看作有 $n\times m$ 个位置的网格图，从上到下分别为第 $1$ 到第 $n$ 行，从左到右分别为第 $1$ 列到第 $m$ 列，其中每个位置有可能是土坑，也有可能不是，可以用 $a_{i,j}=1$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 列这个位置有土坑，否则用 $a_{i,j}=0$ 表示这个位置没土坑。

一种种花方案被称为 $\mathtt{\text{C-}}$ 形的，如果存在 $x_1,x_2\in [1,n]$，以及 $y_0,y_1,y_2\in [1,m]$，满足 $x_1+1<x_2$，并且 $y_0<y_1,y_2\le m$，使得第 $x_1$ 行的第 $y_0$ 到第 $y_1$ 列、第 $x_2$ 行的第 $y_0$ 到第 $y_2$ 列以及第 $y_0$ 列的第 $x_1$ 到第 $x_2$ 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

一种种花方案被称为 $\mathtt{\text{F-}}$ 形的，如果存在 $x_1,x_2,x_3\in [1,n]$，以及 $y_0,y_1,y_2\in [1,m]$，满足 $x_1+1<x_2<x_3$，并且 $y_0<y_1,y_2\le m$，使得第 $x_1$ 行的第 $y_0$ 到第 $y_1$ 列、第 $x_2$ 行的第 $y_0$ 到第 $y_2$ 列以及第 $y_0$ 列的第 $x_1$ 到第 $x_3$ 行都不为土坑，且只在上述这些位置上种花。

样例一解释中给出了 $\mathtt{\text{C-}}$ 形和 $\mathtt{\text{F-}}$ 形种花方案的图案示例。

现在小 C 想知道，给定 $n,m$ 以及表示每个位置是否为土坑的值 $\{a_{i,j}\}$，$\mathtt{\text{C-}}$ 形和 $\mathtt{\text{F-}}$ 形种花方案分别有多少种可能？由于答案可能非常之大，你只需要输出其对 $998244353$ 取模的结果即可，具体输出结果请看输出格式部分。

对于所有数据，保证：$1\le T\le 5$，$1\le n,m\le {10}^3$，$0\le c,f\le 1$，$a_{i,j}\in \{0,1\}$。

题解

观察数据范围，考虑$O(nm)$求解，我们发现，$F$型就是$C$型扩展，考虑先求解$C$型

因为$C$型涉及到了三段$0$，并且一个足够大的$C$能够通过上下两段的收缩来得到其他的合法方案，考虑对于枚举左上角，求解出合法的$C$

可以这样考虑，对于每一个左上角，需要往右和往下伸展，那么不妨用$O(nm)$的小$DP$求解出每一个点往右和往下最多伸展多少。由于这个$C$要求段的长度不能小于$2$,而一个$C$型如果确定了竖着的一段，那么横着的那两段，设最长为$x_1,x_2$那么每一段都可以从$2$取到最大值构成合法的$C$,总方案数就是$(x_1-1)(x_2-1)$，考虑直接在这个长度减一

设$S{1}_{x,y},S{2}_{x,y}$分别表示点$(x,y)$向左和向下最长段的长度$-1$,可以采用如下$DP$

	//预处理S1
		for(int y=1;y<=m;y++){
			for(int x=n;x;--x){
				if(a[x][y]==1)s2[x][y]=-1;
				else s2[x][y]=s2[x+1][y]+1;
			}
		}
	//预处理S2
		for(int x=1;x<=n;x++){
			for(int y=m;y;--y){
				if(a[x][y]==1)s1[x][y]=-1;
				else s1[x][y]=s1[x][y+1]+1;
			}
		} 

那么考虑如何才能对一个点求出所有合法的$C$，容易想到，总方案数中的$x_1$是确定的，我们可以将所有的$x_2$加上，很简单，再搞一个前缀和即可，设这个前缀和为$S3$

接着扩展到$F$，$F$本质上是对$C$进行的扩展，可以求出一个$C$最多向下扩展多少，这就是这个$C$能够向下组合出$F$的总方案数，可以进行维护，就是再做一个前缀和$S4$，$S{4}_{x,y}$即为对于$(x,y)$向下扩展的每一个数的$S2,S1$的乘积，这样最终的答案即为

$$An{s}_C=\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m[a[x,y]\ne 1]S1[x,y]\times S3[x+2,y]$$

$$An{s}_F=\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m[a[x,y]\ne 1]S1[x,y]\times S4[x+2,y]$$

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 1050
#define p 998244353
int n,m,f1,f2,a[N][N],s1[N][N],s2[N][N],s3[N][N],s4[N][N],T,id;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>T>>id;
	while(T--){
		memset(s1,-1,sizeof s1);
		memset(s2,-1,sizeof s2);
		memset(s3,0,sizeof s3);
		memset(s4,0,sizeof s4);
		cin>>n>>m>>f1>>f2;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				char x;
				cin>>x;
				a[i][j]=x-'0';
			}
		}
	//预处理S1
		for(int y=1;y<=m;y++){
			for(int x=n;x;--x){
				if(a[x][y]==1)s2[x][y]=-1;
				else s2[x][y]=s2[x+1][y]+1;
			}
		}
	//预处理S2
		for(int x=1;x<=n;x++){
			for(int y=m;y;--y){
				if(a[x][y]==1)s1[x][y]=-1;
				else s1[x][y]=s1[x][y+1]+1;
			}
		} 
	//预处理S3
		for(int y=1;y<=m;y++){
			for(int x=n;x;--x){
				if(a[x][y]==1)s3[x][y]=0;
				else s3[x][y]=s3[x+1][y]+s1[x][y];
			}
		}
	//预处理S4
		for(int y=1;y<=m;y++){
			for(int x=n;x;--x){
				if(a[x][y]==1)s4[x][y]=0;
				else s4[x][y]=(1ll*s4[x+1][y]+1ll*s1[x][y]*s2[x][y])%p;
			}
		} 
	//
		int ans1=0,ans2=0;
		for(int x=1;x<=n-2;x++){
			for(int y=1;y<=m;y++){
				if(a[x][y]==1)continue;
				ans1=(1ll*ans1+1ll*s1[x][y]*s3[x+2][y]*(a[x+1][y]!=1)%p)%p;
				ans2=(1ll*ans2+1ll*s1[x][y]*s4[x+2][y]*(a[x+1][y]!=1)%p)%p;
			}
		}
		cout<<1ll*ans1*f1%p<<" "<<1ll*ans2*f2%p<<endl;
	}
}