P8858题解
折线
题目描述
平面直角坐标系的第一象限内有一块左下角为 \((0,0)\) 右上角为 \((10^{100},10^{100})\) 的矩形区域，区域内有正偶数个整点，试求出这样一条从 \((0,0)\) 出发，到 \((10^{100},10^{100})\) 的在区域内部的折线：
- 折线的每一部分都平行于 \(x\) 轴或 \(y\) 轴。
- 折线不能经过给定的整点。
- 折线将整块区域分成包含给定整点个数相等的两块。
- 折线拥有尽可能少的折点。
可以证明一定存在一条满足限制的折线，你只需要输出满足限制的折线的折点数即可。
注意折点的坐标可以不是整数。
输入格式
输入第一行一个正整数 \(T\)，表示数据组数。
接下来的每组数据中，第一行一个正偶数 \(n\)，表示给定的整点个数。
接下来 \(n\) 行，第 \(i\) 行两个正整数 \(x_i,y_i\)，表示给定的第 \(i\) 个整点的坐标为 \((x_i,y_i)\)。
输出格式
输出 \(T\) 行，每行一个正整数，表示满足限制的折线的折点数。
样例 #1
样例输入 #1
3
4
1 1
1 2
4 1
4 2
6
1 2
1 3
2 1
2 2
2 3
3 2
12
1 3
2 2
2 3
2 4
3 1
3 2
3 4
3 5
4 2
4 3
4 4
5 3
样例输出 #1
2
3
4
提示
【样例解释】
对于第一组数据，一条合法的折线为：\((0,0) \to (2.5,0) \to (2.5,10^{100}) \to (10^{100},10^{100})\)，它有 \((2.5,0)\) 和 \((2.5,10^{100})\) 两个折点。
【数据范围】
| 测试点编号 | \(n \leq\) | 特殊限制 |
|---|---|---|
| \(1 \sim 2\) | \(4\) | 无 |
| \(3 \sim 4\) | \(10\) | 无 |
| \(5 \sim 6\) | \(50\) | 无 |
| \(7 \sim 8\) | \(10^5\) | 保证答案不大于 \(3\) |
| \(9 \sim 10\) | \(10^5\) | 无 |
对于所有数据，\(1 \leq T \leq 10^4, 1 \leq \sum n \leq 5 \times 10^5, 1 \leq x_i,y_i \leq n\)，保证 \(n\) 为正偶数，每组数据中不存在两个坐标相同的整点。
题解
引理1:折点数量在\([2,4]\)之间
证明:(从x轴考虑,y轴同理)
考虑找到一个\(a\)使得\(x\)坐标小于\(a\)的和\(x\)坐标大于\(a\)的点的数量不超过\(\frac{n}{2}\)(先预处理每个\(x\)坐标的点的数量,再做一遍前缀和即可求出)
那么考虑将直线\(x=a\)划分为两个部分,自底向上最多折3次即可达到划分目的,最后一次是当折线的坐标到了\((a,10^{100})\)的时候再折到终点,故上界是4
而需要划分点,至少需要折一次,然后还得再折一次到终点,故下界是2
引理2:
折两次的充要条件为存在一个\(a\),使得\(x\)坐标小于\(a\)或\(y\)坐标小于\(a\)的点的数量为\(\frac{n}{2}\),证明显然
引理3
折3次的充要条件为存在一个矩形\((1,i,i,n)\)或\((i,1,n,j)\)使得矩形值为\(n/2\)
因为折两次只有两种图形(如下),证明显然
所以问题就变成了判断是否存在矩形\((1,i,j,n)\)或\((i,1,n,j)\)使得矩形值为\(n/2\),采用悬线法解决
可以这样考虑,因为折三次可以分为从x折第一次还是从y折,下面讨论从\(x\)折,处理矩形\((i,1,n,j)\)的方法
代码应该比较好懂,没看懂可以私信我
//fc D:\编程\C++\ex_line2.out D:\编程\C++\ex_line2.ans
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define N 5000050
struct node {
int x, y;
}a[N];
inline int read(void) {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
for (; !isdigit(c); c = getchar())
if (c == '-') f = -1;
for (; isdigit(c); c = getchar())
x = x * 10 + c - '0';
return x * f;
}
int f1[N], f2[N], g1[N], g2[N], n, m, q;
vector<int>s1[N], s2[N];
inline void init() {
for (int i = 1; i <= n; i++)f1[i] = f2[i] = g1[i] = g2[i] = a[i].x = a[i].y = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
s1[i].clear();
s2[i].clear();
}
n = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x, y;
x = read(); y = read();
g1[x]++, g2[y]++;
a[i].x = x, a[i].y = y;
s1[x].push_back(i);
s2[y].push_back(i);
}
}
inline bool check2() {
for (int i = 1, j = 0, k = 0; i <= n; i++) {
j += g1[i];
k += g2[i];
if (j == n / 2 || k == n / 2)return true;
}
return false;
}
inline bool check3_1() {
//第一部分，判断矩形(i,1,n,j)
int l = 1, r = 1, m = 0;
while (l <= n) {
while (m < n / 2 && r <= n) {
m += g2[r] - f2[r];
// printf("A %d %d %d\n", l, r, m);
r++;
}
if (m == n / 2)return true;
int len = s1[l].size();
for (int i = 0; i < len; i++) {
f2[a[s1[l][i]].y]++;
if (a[s1[l][i]].y < r)m--;
}
l++;
}
if (m == n / 2)return true;
return false;
}
inline bool check3_2() {
int l = 1, r = 1, m = 0;
while (l <= n) {
while (m < n / 2 && r <= n) {
m += g1[r] - f1[r];
// printf("A %d %d %d\n", l, r, m);
r++;
}
if (m == n / 2)return true;
int len = s2[l].size();
for (int i = 0; i < len; i++) {
f1[a[s2[l][i]].x]++;
if (a[s2[l][i]].x < r)m--;
}
l++;
}
if (m == n / 2)return true;
return false;
}
int main() {
// freopen("ex_line2.in","r",stdin);
// freopen("ex_line2.ans","w",stdout);
int t = read();
while (t--) {
init();
if (check2()) {
puts("2");
continue;
}
if (check3_1() || check3_2()) {
puts("3");
continue;
}
puts("4");
}
}
