KDOI-3还原数据题解

「KDOI-03」还原数据

题目描述

小 E 正在做一道经典题：

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 和 $q$ 个操作，操作共有 $2$ 种类型：

• $\mathtt{1}\mathtt{l}\mathtt{r}\mathtt{x}$：对于所有 $l\le i\le r$，$a_i\leftarrow a_i+x$。
• $\mathtt{2}\mathtt{l}\mathtt{r}\mathtt{x}$：对于所有 $l\le i\le r$，$a_i\leftarrow max(a_i,x)$。

题目要求输出所有操作结束后的最终序列 $a^{\prime }$。

小 E 迅速写了一份代码提交，但是发现，由于宇宙射线的影响，输入数据出现了一些小问题。具体地，对于所有 $2$ 操作，操作中给出的 $x$ 均被丢失了，也就是说，输入数据中的 $2$ 操作只剩下了 $\mathtt{2}\mathtt{l}\mathtt{r}$。输出数据则没有问题。小 E 现在想要通过剩余的数据恢复原来的输入数据，请你帮助他完成这个任务。

当然，可能会有多种合法的输入数据，你需要找到其中任意一种。数据保证有解。

输入格式

从标准输入读入数据。

本题有多组测试数据。

第一行一个正整数 $T$，表示数据组数。

对于每组测试数据，第一行两个非负整数 $n,q$。

第二行 $n$ 个整数，表示初始序列 $a_1,a_2,\dots ,a_n$。

接下来 $q$ 行，每行一次操作，形如 $\mathtt{1}\mathtt{l}\mathtt{r}\mathtt{x}$ 或 $\mathtt{2}\mathtt{l}\mathtt{r}$。

接下来一行 $n$ 个整数，表示最终序列 $a_1^{\prime },a_2^{\prime },\dots ,a_n^{\prime }$。

输出格式

输出到标准输出。

本题开启自定义校验器（Special Judge）。

对于每组测试数据，设共有 $q_2$ 个 $2$ 操作，输出一行 $q_2$ 个整数，第 $i$ 个整数表示第 $i$ 次 $2$ 操作中所给出的 $x$ 的值。

你需要保证 $-{10}^{15}\le x\le {10}^{15}$。

样例 #1

样例输入 #1

1
5 3
1 2 3 4 5
2 3 5
1 3 4 2
2 1 1
20 2 5 6 5

样例输出 #1

3 20

提示

【样例 1 解释】

所有合法输出需要满足：第 $1$ 个数 $\le 3$，第 $2$ 个数恰好为 $20$。

【样例 2】

见选手文件中的 restore/restore2.in 与 restore/restore2.ans。

【样例 3】

见选手文件中的 restore/restore3.in 与 restore/restore3.ans。

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【数据范围】

记 $q_2$ 为单组数据内 $2$ 操作的个数，$\sum n$ 为单个测试点内所有 $n$ 的和，$\sum q$ 为单个测试点内所有 $q$ 的和。

对于 $20\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $n,q\le 50$，$\sum n,\sum q\le 1000$。

对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $n,q\le 1000$，$\sum n,\sum q\le {10}^5$。

对于另外 $20\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $l=1,r=n$。

对于另外 $20\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $q_2\le 100$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le T\le 100$，$1\le n,q\le {10}^5$，$1\le \sum n,\sum q\le 3\times {10}^5$，$-{10}^9\le a_i,x\le {10}^9$，$-{10}^{15}\le a_i^{\prime }\le {10}^{15}$， $q_2\ge 1$。

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【校验器】

本题样例文件较大，无法在附件中下载，请在选手文件中查看。

为了方便测试，在 $\mathtt{\text{restore}}$ 目录下我们下发了 $\mathtt{\text{checker.cpp}}$ 文件。你可以编译该文件，并使用它校验自己的输出文件。请注意它与最终评测时所用的校验器并不完全一致，你不需要也不应该关心其代码的具体内容。

编译命令为：

g++ checker.cpp -o checker -std=c++14

使用方式为：

./checker <inputfile> <outputfile> <answerfile>

校验器可能会返回以下状态中的其中一种：

• $\mathtt{A}\mathtt{c}\mathtt{c}\mathtt{e}\mathtt{p}\mathtt{t}\mathtt{e}\mathtt{d}$：表示你的输出完全正确。
• $\mathtt{W}\mathtt{r}\mathtt{o}\mathtt{n}\mathtt{g}\mathtt{a}\mathtt{n}\mathtt{s}\mathtt{w}\mathtt{e}\mathtt{r}\mathtt{a}\mathtt{t}\mathtt{t}\mathtt{e}\mathtt{s}\mathtt{t}\mathtt{c}\mathtt{a}\mathtt{s}\mathtt{e}\mathtt{x}$：表示你的输出在第 $x$ 个测试数据出错。

---

【提示】

本题输入输出量较大，推荐使用较快的输入输出方式。

KDOI 出题组温馨提示：多测不清空，爆零两行泪。

题解

首先因为$max$操作无法被后面的抵消，倒序考虑操作，区间加改为减

引理：对于一次max操作，这个值$k$一定小于等于区间$[l,r]$的最小值

证明，反证法，如果不是这样，那么取一个更大的数字，区间的最小值在经过了后面的操作之后会大于最终值

那么因为数据保证有解，我们就可以取等号，那么问题显而易见，我们开一棵维护区间最小值和区间加的线段树，倒序对于区间加改为减，每次max操作输出区间最小值即可

//fc D:\编程\C++\restore3.ans D:\编程\C++\restore3.out 
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 505500
//#define int long long
#define ll long long 
struct node {
	int l, r;ll mn, add;
}t[N << 2];
struct ask {
	int id, l, r;ll x;
}a[N];
#define lc x<<1
#define rc x<<1|1
int s[N], n, m, q, tot;
ll ans[N];
void build(int l,int r,int x) {
	int mid = l + r >> 1;
	t[x] = { l,r,0x3f3f3f3f3f3f3f3f,0 };
	if (l == r) {
		scanf("%lld", &t[x].mn);
		return;
	}
	build(l, mid, lc);
	build(mid + 1, r, rc);
	t[x].mn = min(t[lc].mn, t[rc].mn);
}
inline void pushup(int x) {
	t[x].mn = min(t[lc].mn, t[rc].mn);
}
inline void pushdown(node& a, node& b, node& c) {
	b.add += a.add, c.add += a.add;
	b.mn += a.add, c.mn += a.add;
	a.add = 0;
}
inline void pushdown(int x) {
	pushdown(t[x], t[lc], t[rc]);
}
void change(int l, int r, int x, ll k) {
	if (l <= t[x].l && t[x].r <= r) {
		t[x].add += k;
		t[x].mn += k;
		return;
	}
	pushdown(x);
	int mid = t[x].l + t[x].r >> 1;
	if (l <= mid)change(l, r, lc, k);
	if (mid < r)change(l, r, rc, k);
	pushup(x);
}
ll find(int l, int r, int x) {
	if (l <= t[x].l && t[x].r <= r) {
		return t[x].mn;
	}
	pushdown(x);
	ll ans = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
	int mid = t[x].l + t[x].r >> 1;
	if (l <= mid)ans = min(ans, find(l, r, lc));
	if (mid < r)ans = min(ans, find(l, r, rc));
	pushup(x);
	return ans;
}
void init() {
	tot = 0;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d", &s[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int op, l, r;ll k;
		scanf("%d%d%d", &op, &l, &r);
		if (op == 1) {
			scanf("%lld", &k);
			a[i] = { op,l,r,k };
			continue;
		}
		a[i] = { op,l,r,-1ll };
	}
	build(1, n, 1);
	for (int i = m; i > 0; i--) {
		if (a[i].id == 1) {
			change(a[i].l, a[i].r, 1, -a[i].x);
			continue;
		}
		ans[++tot] = find(a[i].l, a[i].r, 1);
	}
	for (int i = tot; i; i--) {
		printf("%lld ", ans[i]);
	}
	puts("");
}
signed main() {
//	freopen("restore2.in","r",stdin);
//	freopen("restore2.out","w",stdout);
	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		init();
	}
	return 0;
}