题解——阿狸与桃子的游戏

边权均分-巧妙的阿狸和桃子的游戏

[国家集训队]阿狸和桃子的游戏

题目描述

阿狸和桃子正在玩一个游戏，游戏是在一个带权图G=(V, E)上进行的，设节点权值为w(v)，边权为c(e)。游戏规则是这样的：

1. 阿狸和桃子轮流将图中的顶点染色，阿狸会将顶点染成红色，桃子会将顶点染成粉色。已经被染过色的点不能再染了，而且每一轮都必须给一个且仅一个顶点染色。

2. 为了保证公平性，节点的个数N为偶数。

3. 经过N/2轮游戏之后，两人都得到了一个顶点集合。对于顶点集合S，得分计算方式为

\[\sum_{v \in S}w(v) + \sum_{e=(u,v)\in E \land u,v\in S}c(e) \]

由于阿狸石头剪子布输给了桃子，所以桃子先染色。两人都想要使自己的分数比对方多，且多得越多越好。如果两人都是采用最优策略的，求最终桃子的分数减去阿狸的分数。

输入格式

输入第一行包含两个正整数N和M，分别表示图G的节点数和边数，保证N一定是偶数。

　　接下来N+M行。

　　前N行，每行一个整数w，其中第k行为节点k的权值。

　　后M行，每行三个用空格隔开的整数a b c，表示一条连接节点a和节点b的边，权值为c。

输出格式

输出仅包含一个整数，为桃子的得分减去阿狸的得分。

样例 #1

样例输入 #1

4 4
6
4
-1
-2
1 2 1
2 3 6
3 4 3
1 4 5

样例输出 #1

3

提示

数据规模和约定

对于40%的数据，1 ≤ N ≤ 16。

对于100%的数据，1 ≤ N ≤ 10000，1 ≤ M ≤ 100000，-10000 ≤ w , c ≤ 10000。

题解

引理：对于边权的处理，可以将其下放到点权，每个点各占一半

设一条边\((u,v,w)\)

证明：

1. \(u\)和\(v\)染上不同色，此时\(V_u-V_v\)因为均分边权的原因，边权无影响
2. \(u\)和\(v\)同色，这样正好算上了边权

所以这道题就变成了贪心的SB题，每次取最大即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, m;
//#define scanf scanf_s
double val[5000050];
int main() {
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> val[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		val[u] += 1.0 * w / 2;
		val[v] += 1.0 * w / 2;
	}
	sort(val + 1, val + n + 1);
	reverse(val + 1, val + n + 1);
	double ans1=0.0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (i & 1)ans1 += val[i];
		else ans1 -= val[i];
	}
	printf("%.0f", ans1);
}