环形均分纸牌问题

环形均分纸牌问题

问题：给定n个整数，呈环形排列，每个数可以往两个相邻的数传递(每次至少1)，最终要使得$n$个数相等，求传递的数的最小值

无解条件很显然:$n$不能整除$\sum _{i=1}^{n}a[i]$

现在规定有解，设$\bar{a}=\frac{\sum _{i=1}^{n}a[i]}{n}$

我们规定$i$向$i-1$传递$x$，记为$i-1$向$i$传递$-x$，这时候我们就可以把整个传递过程规定为单方向传递

设对于$i$,则$i$传递给$i+1$的数为$x_i$,特别的，设$n$传递给$1$

那么可以得到：

$$\{\begin{array}{rl}{a}_1-\bar{a}& =x_n-x_1\\ a_2-\bar{a}& =x_1-x_2\\ a_3-\bar{a}& =x_2-x_3\\ a_4-\bar{a}& =x_3-x_4\\ & \dots \dots \\ a_n-\bar{a}& =x_{n-1}-x_n\end{array}$$

那么移项，可以得到：

$$\{\begin{array}{rl}{x}_1=& x_n-a_1+\bar{a}\\ x_2=& x_1-a_2+\bar{a}\\ x_3=& x_2-a_3+\bar{a}\\ & \dots \dots \\ x_n=& x_{n-1}-a_n+\bar{a}\end{array}$$

将后式带入前式，先不考虑$x_n$，有

$$x_i=x_n-\sum _{j=1}^i{a}_j+i·\bar{a}$$

最终会有$x_n=x_n$

那么如果我们设$s_i=\left(\sum _{j=1}^i{a}_j\right)-i·\bar{a}$,则原式化为$x_i=x_n-s_i$

因为我们最终目标是要求$min\left\{\sum _{i=1}^n|x_i|\right\}$

原式=$min\{\sum _{i=1}^n|x_n-s_i|\}$

此时因为我们的$s$的值都可以$O(n)$预处理出来，那么我们只需要求出$x_n$在何值的时候上式最小即可

那就是$s$的中位数了

此时，$x_n$的值知道之后，就可以回带求出所有的$x$值