题解——随机数生成器
[SDOI2013] 随机数生成器
题目背景
小 W 喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。
题目描述
最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 \(p\) 页，页码范围为 \(0 \sim p-1\)。
小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。
我们用 \(x_i\) 来表示通过这种方法生成出来的第 \(i\) 个数，也即小 W 第 \(i\) 天会读哪一页。这个方法需要设置 \(3\) 个参数 \(a,b,x_1\)，满足 \(0\leq a,b,x_1\lt p\)，且 \(a,b,x_1\) 都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：
其中 \(\bmod\) 表示取余操作。
但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。
小 W 要读这本书的第 \(t\) 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 \(t\) 页，或者指出他永远不会读到第 \(t\) 页。
输入格式
本题单测试点内有多组测试数据。
第一行是一个整数 \(T\)，表示测试数据组数。
接下来 \(T\) 行，每行有五个整数 \(p, a, b, x_1, t\)，表示一组数据。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个整数表示他最早读到第 \(t\) 页是哪一天。如果他永远不会读到第 \(t\) 页，输出\(-1\)。
样例 #1
样例输入 #1
3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1
样例输出 #1
1
3
-1
提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证：
- \(1 \leq T \leq 50\)。
- \(0 \leq a, b, x_1, t \lt p\)，\(2 \leq p \leq 10^9\)。
- \(p\) 为质数。
题解
首先大致拆开一下式子
\(x_1=x_1\)
\(x_2=ax_2+b\)
\(x3=a^2x_2+ab+b\)
越拆越觉得涉及到高次同余式，考虑\(BSGS\)，这启发我们将式子化为高次式
考虑转化为等比数列，设\(x_{n+1}+m=a(x_n+m)=ax_n+b+m\)
\((a-1)m=b\)
变形,得到\(m=\frac{b}{a-1}\),所以设\(S_n=x_n+\frac{b}{a-1}\)
有：\(S_n=aS_{n-1}\)
进一步的\(t+\frac{b}{a-1}=S_n=a^{n-1}(x_1+\frac{b}{a-1})\),除过去有
\(\frac{t+\frac{b}{a-1}}{x_1+\frac{b}{a-1}}\equiv a^{n-1}(\bmod p)\)
所以说，我们解出这个同余式的解即可
不过有几个特殊情况需要判断，就是\(a=1/0或b=1/0\)等的情况
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
#define int long long
map<int, int>h;
int t, a, b, x, p, ans;
int power(int a, int b, int p) {
int ans = 1;
while (b) {
if (b & 1)ans = ans * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return ans % p;
}
int BSGS(int x) {
h.clear();
int a_inv = power(a - 1, p - 2, p);
int x_a_inv = power((x + b * a_inv % p) % p, p - 2, p);
int s = (t + b * a_inv) % p * x_a_inv % p;
int pq = sqrt(p) + 1;
for (int i = 0; i < pq; i++) {
h[s * power(a, i, p) % p] = i;
}
a = power(a, pq, p);
if (!a) {
return s == 0 ? 1 : -1;
}
for (int i = 1; i <= pq; i++) {
int sq = power(a, i, p);
if (h.find(sq) != h.end() && pq * i - h[sq] > 0) {
return pq * i - h[sq] + 1;
}
}
return -1;
}
signed main() {
int T;
scanf("%lld", &T);
while (T--) {
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &p, &a, &b, &x, &t);
ans = 0;
if (x == t) {
puts("1");
}
else if (a == 0) {
if (t == b)puts("2");
else puts("-1");
}
else if (a == 1 && b == 0) {
puts("-1");
}
else if (a == 1) {
int inv = power(b, p - 2, p);
ans = ((t - x) % p + p) % p * inv % p;
printf("%lld\n", ans + 1);
}
else {
printf("%lld\n", BSGS(x));
}
}
}
如何想到这个做法？由递归式会使得式子变成高次式，就启发BSGS，BSGS又能启发我们转化等比数列
