0/1分数规划

0/1分数规划

$0/1$分数规划模型是指，给定:$a_1\sim a_n,b_1\sim b_n$,要构造$x_1\sim x_n(\mathrm{\forall }i\in [1,n],x_i=0\text{或}1)$

使得

$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}$$

最大化，现在假设我们的答案是$ans$，对其进行变式可以得到

$$ans\times \sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$$

继续:

$$\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_{i}ans=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i$$

同时抽离项，分配，得：

$$\sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-b_{i}ans)=0$$

观察这个式子，如果我们知道$ans$，就可以很轻松的知道这个值是多少，至于求最大值，很容易，我们可以直接计算出$a_i-b_{i}ans$，把这个值大于0的加起来(令$x_i=1$)即可

于是，我们可以发现$ans$是具备单调性的，可以二分出来

比如我们假设当前二分的值是$mid$，那么有两种情况

$$\mathrm{\exists }\{x_1\sim x_n\}\text{使得,}\sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-b_{i}mid)\ge 0$$

变形即可得

$$\mathrm{\exists }\{x_1\sim x_n\}\text{使得}\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}\ge mid$$

此时，我们要求的值比二分的值要大

$$\mathrm{\forall }\{x_1\sim x_n\}\text{使得,}\sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-b_{i}mid)<0$$

变式可得:

$$\mathrm{\forall }\{x_1\sim x_n\}\text{使得}\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i{x}_i}<mid$$

也就是说我们要求的值比二分的值小

至于$\sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-b_{i}mid)$的最大值很容易求出，因为和式里都是已知量，把它算出来，将所有的正数加上便是最大值

综上所述，我们可以二分答案(实数),当二分的值为$mid$时，我们计算$\sum _{i=1}^n{x}_i(a_i-b_{i}mid)$的最大值，检查其是否非负，非负则令$l=mid$，否则令$r=mid$,当二分停止时，就得到了解

例题：放弃测试

在某个课程中，你需要进行 $n$ 次测试。

如果你在共计 $b_i$ 道题的测试 $i$ 上的答对题目数量为 $a_i$，你的累积平均成绩就被定义为$100\times \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i}$
给定您的考试成绩和一个正整数 $k$，如果您被允许放弃任何 $k$ 门考试成绩，您的累积平均成绩的可能最大值是多少。

假设您进行了3 次测试，成绩分别为 $5/5$,$0/1$ 和 $2/6$。

在不放弃任何测试成绩的情况下，您的累积平均成绩是 50

然而，如果你放弃第三门成绩，则您的累积平均成绩就变成了$100\times \frac{5+0}{5+1}\approx 83$ 。

分析，这是一个分数规划的板子，与传统0/1分数规划不同的是，我们至多放弃$k$个，于是我们可以在分数规划的过程中把最小的$k$个删去不要

int a[1005],n,b[1005],k;
double c[1005],l,r,mid;
const double eps=1e-8;
bool check(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i]=a[i]-mid*b[i];
	}
	sort(c+1,c+n+1);
	double ans=0; 
	for(int i=k+1;i<=n;i++)ans+=c[i];
	return ans>=0;//true:应该扩大 
}
int main(){
	while(1){
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
		if(n==0&&k==0)return 0;
		l=0,r=1;
		while(r-l>eps){
			mid=(l+r)/2;
			if(check())l=mid;
			else r=mid;
		}
		printf("%d\n",(int)(mid*100+0.5));
	}
}