0/1分数规划

0/1分数规划

\(0/1\)分数规划模型是指，给定:\(a_1\sim a_n,b_1\sim b_n\),要构造\(x_1\sim x_n(\forall i\in[1,n],x_i=0\text{或}1)\)

使得

\[\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\sum_{i=1}^nb_ix_i} \]

最大化，现在假设我们的答案是\(ans\)，对其进行变式可以得到

\[ans\times \sum_{i=1}^nb_ix_i=\sum_{i=1}^na_ix_i \]

继续:

\[\sum_{i=1}^nb_ix_ians=\sum_{i=1}^na_ix_i \]

同时抽离项，分配，得：

\[\sum_{i=1}^nx_i(a_i-b_ians)=0 \]

观察这个式子，如果我们知道\(ans\)，就可以很轻松的知道这个值是多少，至于求最大值，很容易，我们可以直接计算出\(a_i-b_ians\)，把这个值大于0的加起来(令\(x_i=1\))即可

于是，我们可以发现\(ans\)是具备单调性的，可以二分出来

比如我们假设当前二分的值是\(mid\)，那么有两种情况

\[\exists\lbrace x_1\sim x_n \rbrace\text{使得,}\sum_{i=1}^nx_i(a_i-b_imid)\ge 0 \]

变形即可得

\[\exists\lbrace x_1\sim x_n \rbrace\text{使得}\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\sum_{i=1}^nb_ix_i}\ge mid \]

此时，我们要求的值比二分的值要大

\[\forall \lbrace x_1\sim x_n \rbrace\text{使得,}\sum_{i=1}^nx_i(a_i-b_imid)<0 \]

变式可得:

\[\forall\lbrace x_1\sim x_n \rbrace\text{使得}\frac{\sum_{i=1}^na_ix_i}{\sum_{i=1}^nb_ix_i}< mid \]

也就是说我们要求的值比二分的值小

至于\(\sum_{i=1}^nx_i(a_i-b_imid)\)的最大值很容易求出，因为和式里都是已知量，把它算出来，将所有的正数加上便是最大值

综上所述，我们可以二分答案(实数),当二分的值为\(mid\)时，我们计算\(\sum_{i=1}^nx_i(a_i-b_imid)\)的最大值，检查其是否非负，非负则令\(l=mid\)，否则令\(r=mid\),当二分停止时，就得到了解

例题：放弃测试

在某个课程中，你需要进行 \(n\) 次测试。

如果你在共计 \(b_i\) 道题的测试 \(i\) 上的答对题目数量为 \(a_i\)，你的累积平均成绩就被定义为\(100\times \frac{\sum_{i=1}^na_i}{\sum_{i=1}^nb_i}\)
给定您的考试成绩和一个正整数 \(k\)，如果您被允许放弃任何 \(k\) 门考试成绩，您的累积平均成绩的可能最大值是多少。

假设您进行了3 次测试，成绩分别为 \(5/5\),\(0/1\) 和 \(2/6\)。

在不放弃任何测试成绩的情况下，您的累积平均成绩是 50

然而，如果你放弃第三门成绩，则您的累积平均成绩就变成了\(100\times \frac{5+0}{5+1}\approx 83\) 。

分析，这是一个分数规划的板子，与传统0/1分数规划不同的是，我们至多放弃\(k\)个，于是我们可以在分数规划的过程中把最小的\(k\)个删去不要

int a[1005],n,b[1005],k;
double c[1005],l,r,mid;
const double eps=1e-8;
bool check(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		c[i]=a[i]-mid*b[i];
	}
	sort(c+1,c+n+1);
	double ans=0; 
	for(int i=k+1;i<=n;i++)ans+=c[i];
	return ans>=0;//true:应该扩大 
}
int main(){
	while(1){
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
		if(n==0&&k==0)return 0;
		l=0,r=1;
		while(r-l>eps){
			mid=(l+r)/2;
			if(check())l=mid;
			else r=mid;
		}
		printf("%d\n",(int)(mid*100+0.5));
	}
}