数学期望

期望

概率与数学期望

在概率论中，我们把一个随机实验的某种可能的结果称为样本点，把所有可能的结果构成的集合称为样本空间，在一个给定的样本空间中，随机事件就样本空间的自己，即若干个样本点构成的集合，随机变量就是把样本点映射为实数的函数，随机变量分为离散型和连续性两种，我们主要讨论离散型随机变量，即取值有限或可数的随机变量

定义
设样本空间为$\mathrm{\Omega }$，若对于$\mathrm{\Omega }$中的每一个随机事件$A$，都存在实值函数$P(A)$满足：

1.$P(A)\ge 0$

2.$P(\mathrm{\Omega })=1$

3.对于若干个两两互斥事件$A_1,A_2\dots \dots$有$\sum P(A_i)=P(\cup A_i)$

则称$P(A)$为随机事件$A$发生的概率，通俗的讲，概率是对随机事件发生的可能性的度量，是一个$0\sim 1$的实数

定义

若随机变量$X$的取值有$x_1,x_2\dots \dots$一个随机事件可以表示为$X=x_i$,其概率为$P(X=x_i)=p_i$,则称$E(X)=\sum p_i{x}_i$为随机变量$X$的数学期望，通俗的讲，数学期望是随机变量取值与其概率的乘积之和

性质

数学期望是线性函数，满足

$$E(ax+by)=aE(x)+bE(y)$$

该性质非常重要，这是我们能够运用动态规划算法求解数学期望的基本依据

来一到非常简单的题：

守卫者的挑战

打开了黑魔法师 $Vani$ 的大门，队员们在迷宫般的路上漫无目的地搜寻着关押 $applepi$ 的监狱的所在地。

突然，眼前一道亮光闪过，“我，$Nizem$，是黑魔法圣殿的守卫者。如果你能通过我的挑战，那么你可以带走黑魔法圣殿的地图……”。

瞬间，队员们被传送到了一个擂台上，最初身边有一个容量为 $K$ 的包包。

擂台赛一共有 $N$ 项挑战，各项挑战依次进行。

第 $i$ 项挑战有一个属性 $a_i$，如果 $a_i\ge 0$，表示这次挑战成功后可以再获得一个容量为 $a_i$ 的包包；如果 $a_i=-1$，则表示这次挑战成功后可以得到一个大小为 $1$ 的地图残片。

地图残片必须装在包包里才能带出擂台，包包没有必要全部装满，但是队员们必须把获得的所有的地图残片都带走（没有得到的不用考虑，只需要完成所有 $N$ 项挑战后背包容量足够容纳地图残片即可），才能拼出完整的地图。

并且他们至少要挑战成功 $L$ 次才能离开擂台。

队员们一筹莫展之时，善良的守卫者 $Nizem$ 帮忙预估出了每项挑战成功的概率，其中第 $i$ 项挑战成功的概率为 $p_i$。

现在，请你帮忙预测一下，队员们能够带上他们获得的地图残片离开擂台的概率。

分析：

这题很容易想到$DP$，我们来观察$DP$的状态应该如何设计，很明显的背包容量一维，地图残片数量一维，挑战成功了几次一维，第几次挑战一维

不过我们可以发现，地图残片数量和背包容量可以合并，因为最终都是要装在背包里的，于是我们将状态里的背包容量设为实际背包容量减去地图残片数量

所以我们得到了动态规划的状态:设$f[i][j][k]$表示前$i$场比赛，赢了$j$场，背包剩余容量为$k$时的概率

但是我们注意，我们最多可以得到$n$个地图残片，于是$k$的最大值为$n$，超过的不用考虑

于是有状态转移方程：

$$f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k-a_i]\times p_i+f[i-1][j][k]\times (1-p_i)(a_i\ge 0)$$

$$f[i][j][k]=f[i-1][j-1][k+1]\times p_i+f[i-1][j][k]\times (1-p_i)(a_i=-1)$$

当然，这道题我们用当前状态更新以后状态会更加容易：

$$f[i+1][j+1][k+a_{i+1}]+=f[i][j][k]\times p_{i+1}$$

$$f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]\times (1-p_{i+1})$$

在统计答案的时候把所有$i=n,j\ge L,k\ge 0$的状态的概率加起来就行,需要注意的是，我们只需要最后$k\ge 0$，在$DP$中$k$可能会炸成负数，于是我们需要平移数组，复杂度$O(n^3)$

using namespace std;
int a[205],n,l,k;
double p[205],ans,f[205][205][415];
void init(){
	scanf("%d%d%d",&n,&l,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]/=100;
	f[0][0][k+n]=1;
}
void solve(){
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			for(int k=0;k<=n+n;k++){
				if(a[i+1]+k>=0){
					f[i+1][j+1][min(n+n,k+a[i+1])]+=f[i][j][k]*p[i+1];
					f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1-p[i+1]);
				}
			}
		}
	}
	for(int i=l;i<=n;i++){
		for(int k=n;k<=n+n;k++){
			ans+=f[n][i][k];
		}
	}
}