高斯消元与线性基

Guass—约旦消元

消元算法

简介：这是求解线性方程组（也就是M个N元一次方程组）的方法

思想：我们可以把方程组看作一个系数矩阵

例如：

{\begin{aligned} 2 x_{1} + x_{2} & - 3 x_{3} + x_{4} & = & 2 \\ - x_{1} - 6 x_{2} & + 2 x_{3} - x_{4} & = & - 9 \\ - x_{1} + 6 x_{2} & - 2 x_{3} + 2 x_{4} & = & 12 \end{aligned}

可以写作系数矩阵：

[\begin{matrix} 2 & 1 & - 3 & 1 & 2 \\ - 1 & - 6 & 2 & - 1 & - 9 \\ - 1 & 6 & - 2 & 2 & 12 \end{matrix}]

其中最后一列是常数列

对这个矩阵作三类操作，以此求出方程组的解：

1.用一个非零的数乘某一行

2.把其中的一行的若干倍加在另一行上

3.交换两行位置

具体的，我们一次考虑第 $i$ 列,为了将最后的矩阵变为一个对角矩阵(此时就是答案矩阵)

我们设当前已经使用了 $w$ 个未知数进行消元，那么我们从第 $w + 1$ 行开始寻找第 $w + 1$ 个未知数的系数不为零的一行，将其交换至 $w + 1$ 行，然后对每一行(除了自己)与当前这个方程进行加减消元，这样我们就消去了除 $w + 1$ 行之外的所有第 $w + 1$ 个未知数

因为这个步骤，我们在从 $w + 1$ 行开始寻找的时候，第 $w + 1 \sim n$ ( $n$ 为总行数)中前 $w$ 个未知数的系数全是 $0$ ,且 $1 \sim w$ 行的未知数有系数的只有一个，也就是第 $i$ 行的第 $i$ 个未知数

算法见模板：

小部件厂

题目描述：

小部件工厂生产几种不同类型的小部件。

每个小部件都是精心制作而成。

制作小部件所需的时间取决于其类型：简单小部件仅需要 3 天，但最复杂的小部件可能需要多达 9 天。

工厂目前处于完全混乱的状态：最近，工厂被一位新主人收购，新主人解雇了几乎所有员工。

新员工对制作小部件毫无经验，没有人清楚制作每个不同类型的小部件分别需要多少天。

当客户订购小部件，工厂却无法告诉客户生产所需商品需要多少天时显得十分尴尬。

幸运的是，这里有记录记载了每个工人开始制作的日期，完成制作的日期以及制作的小部件型号。

但是问题是记录没有明确记载工人开始和完成工作的确切日期，只记录了该天是星期几。

尽管如此，这些信息也是有些帮助的：例如，如果一个人在星期二开始制作一个 41 型小部件，并在周五完成，那么我们就知道了制作一个 41 型小部件需要 4 天时间（因为最多不超过 9 天，所以不可能是 11 天或更多）。

您的任务是从这些记录中（如果可能）找出制作不同类型的小部件所需的天数。
这里是求解的关于模7的线性同余方程组

分析

这道题明摆着就是让我们求一个关于模7的线性同余方程组，有若干个未知数，我们采用高斯消元解决

#define mod %
int p=7;
using namespace std;
int a[305][305],n,m,ans[305],tot;
map<string ,int >w;
int get(int a,int b){
	return (b-a+8)%p;
} 
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;
	x=y,y=z-(a/b)*y;
	return d;
}
void init(){
	w["MON"]=1;
	w["TUE"]=2;
	w["WED"]=3;
	w["THU"]=4;
	w["FRI"]=5;
	w["SAT"]=6;
	w["SUN"]=7;
}
void Guass(){
	int w=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int o=0;
		for(int j=w+1;j<=n;j++){
			if(a[j][i]&&(!o||a[j][i]>a[o][i])){
				o=j;
			}
		}
		if(!o)continue;
		++w;
		for(int k=1;k<=m+1;k++)swap(a[w][k],a[o][k]);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j!=w&&a[j][i]){
				int x=a[j][i];
				for(int k=1;k<=m+1;k++)a[j][k]=(a[j][k]*a[w][i]-a[w][k]*x)%p;
			}//这里因为mod的缘故不能除，故我们可以构造lcm来加减
		}
	} 
	for(int i=w+1;i<=n;i++){
		a[i][m+1]%=p;
		if(a[i][m+1]){
			printf("Inconsistent data.\n");//无解
			return ;
		}
	}
	if(w<m){
		printf("Multiple solutions.\n");//多解（可确定的解（主元）比未知数数量少）
		return ;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){//求解线性同余方程：a[i][i]*x=a[i][m+1] mod 7; 
		int x,y,d;
		d=exgcd(a[i][i],7,x,y);
		x=x*a[i][m+1]/d;
		if(a[i][m+1]%d){//同余式无解 
			printf("Inconsistent data.\n"); 
			return ;
		} 
		ans[++tot]=((x-3)%p+p)%p+3;
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d ",ans[i]);
	puts("");
	return ;
} 
int main(){
	init();
	while(~scanf("%d%d",&m,&n)&&m&&n){
		tot=0;
		memset(a,0,sizeof a);
		string x,y;
		int k;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>k>>x>>y;
			a[i][m+1]=get(w[x],w[y]);
			for(int j=1;j<=k;j++){
				int q;
				scanf("%d",&q);
				a[i][q]++; 
				a[i][q]%=p;
			}
		}
		Guass();
	}
}

这里说明一下：

无解的情况：即化到最后出现 $0 = d$ 的情况，即所有未知数系数为0，但右边常数不为零

多解的情况：出现全0行，这种未知数我们称作自由元，其余叫主元

总结一下就是：在高斯消元完成后如果存在系数全0，常数不为零的行，则无解，若系数不全为0的行有 $N$ 个，则说明主元有 $N$ 个，方程有唯一解，如果系数不全为0的行有 $k$ 个，则说明主元有 $k$ 个，自由元有 $n - k$ 个

线性空间与线性基

线性空间是一个关于以下两个运算封闭的向量集合（向量可理解为一个一维数组）

1.向量加法 $a + b$ ，其中 $a, b$ 均为向量

2.标量乘法 $k \times a$ ,其中 $a$ 是向量， $k$ 是常数（标量）

给定若干个向量 $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{k}$ ,如果向量 $b$ 能够被向量 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 经过向量加法和标量乘法得出，则称向量b可以被向量 $a_{1}, a_{2} \dots a_{k}$ 表出，显然， $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{k}$ 能表示出的所有的向量构成一个线性空间，而 $a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{k}$ 被称为这个线性空间的生成子集

任意选出线性空间中的若干个向量，若存在一个向量可以被其余向量表出，则称这些向量线性相关，否则称这些向量线性无关

线性空间的生成子集被称为这个线性空间的基底，简称基。基的另一种定义是线性空间的极大无关生成子集，一个线性空间的所有的基所包含的向量个数都相等(一个线性空间可能不止一个基)，这个数被称之为线性空间的维数

例如平面直角坐标系就是一个二维线性空间，它的基就是单位向量集合 $(0, 1), (1, 0)$

对于一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵来说，我们可以把它的每一行看作一个长度为 $m$ 的向量，称为行向量。矩阵的 $n$ 个行向量能表出的所有向量组成一个线性空间，它的维数就是矩阵的行秩，类似的我们可以定义出矩阵的列秩，事实上，矩阵的行秩一定等于列秩，它们都是矩阵的秩。

把这个矩阵进行 $G u a s s —约旦消元$ （增广矩阵最后一列（即正常求方程组解的常数列）全看作0）得到一个简化阶梯型矩阵，显然这个矩阵的所有非0行向量线性无关，因为那三个操作就是做的标量乘法和向量加法。于是，简化阶梯型矩阵的所有非0行向量就是该线性空间的一个基，个数就是矩阵的秩

异或空间

类似于线性空间的定义，将向量加法和标量乘法换成异或运算就是异或空间，只不过异或空间表出来的就是一个数，而不是一个向量

至于求若干个数的异或空间的基，我们可以把这若干个数写为二进制形式的一个矩阵，对此进行消元即可。

不过求异或空间的基（简称线性基）我们有着其他的算法：

转载自：线性基总结

定义
基：

在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

线性基：

线性基是一种特殊的基，它通常会在异或运算中出现，它的意义是：通过原集合 $S$ 的某一个最小子集 $S_{1}$ 使得 $S_{1}$ 内元素相互异或得到的值域与原集合 $S$ 相互异或得到的值域相同。

也可以说是在 $mod 2$ 的意义下，有 $n$ 个长度为 $m$ 的向量，这 $n$ 个向量的线性基为其所组成的线性空间 $V$ 的基底。

1、原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。
2、线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到0。
3、线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的。

线性基的构造方法
构造线性基，我们考虑用增量法来构造线性基。假如现在要插入一个向量，从左向右不断消去1，直到出现了第一个无法消去的1，说明这个向量无法用现在的几组基底表示出来，所以将其插入线性基。

代码实现

ll d[65];
void addnum(ll x){
    for(int i=60;i>=0;i--)
    if((x>>i)&1){
        if(d[i])x^=d[i];
        else{
            d[i]=x;
            break;
        }
    }
}

证明性质1
我们知道了线性基的构造方法后，其实就可以很容易想到如何证明性质1了，我们设原序列里面有一个数x，我们尝试用它来构造线性基，那么会有两种结果——1、不能成功插入线性基；2、成功插入线性基。

分类讨论一下
1、不能成功插入线性基
什么时候不能插入进去呢？
显然就是它在尝试插入时异或若干个数之后变成了0。
那么就有如下式子：
$x \oplus d [a] \oplus d [b] \oplus d [c] . . . = 0$

根据上面的那个小性质，则有：
$d [a] \oplus d [b] \oplus d [c] \oplus . . . = x$

所以，如果x不能成功插入线性基，一定是因为当前线性基里面的一些数异或起来可以等于x。

2、可以成功插入线性基
我们假设x插入到了线性基的第i个位置，显然，它在插入前可能异或若干个数，那么就有：
$x \oplus d [a] \oplus d [b] \oplus d [c] \oplus \dots = d [i]$

所以 $d [i] \oplus d [a] \oplus d [b] \oplus d [c] \oplus \dots = x$

所以显然，x此时也可以由线性基里面的若干个数异或得到。

综上，性质一得证

证明性质2
由反证法：

假设线性基中存在 $d [a] \oplus d [b] \oplus d [c] = 0$
则 $d [a] \oplus d [b] = d [c]$
因此 $d [c]$ 根本无法插入线性基中，与假设矛盾。
所以性质二得证。

性质三证明略
推荐大佬博客：证明3

那么这玩意到底有啥用呢？

求异或最大值

ll getmax(){
    ll res=0;
    for(int i=60;i>=0;i--)
        if(res^d[i]>res)
            res^=d[i];
    return res;
}

求异或最小值

ll getmin(){
    ll res=0,cnt=0;
    for(int i=60;i>=0;i--)
        if(d[i])
            cnt++,res=d[i];
    if(cnt<n)return 0;
    return res;
}

求异或第k大值

例题

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
ll d[65],d2[65],cnt;
void addnum(ll x){
    for(int i=60;i>=0;i--)
    if((x>>i)&1){
        if(d[i])x^=d[i];
        else{
            d[i]=x;
            break;
        }
        if(x==0)break;
    }
}
void change(){
    for(int i=60;i>=0;i--){
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
        if((d[i]>>j)&1){
            d[i]^=d[j];
        }
    }
    for(int i=0;i<=60;i++){
        if(d[i])d2[cnt++]=d[i];
    }
}
int main(){
    int _;
    scanf("%d",&_);
    for(int t=1;t<=_;t++){
        memset(d,0,sizeof d);
        cnt=0;
        printf("Case #%d:\n",t);
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ll x;
            scanf("%lld",&x);
            addnum(x);
        }
        change();
        int q;
        scanf("%d",&q);
        for(int i=1;i<=q;i++){
            ll k;
            scanf("%lld",&k);
            if(n>cnt)k--;
            if(k>=(1ll<<cnt))printf("-1\n");
            else{
                ll res=0;
                for(int i=0;i<cnt;i++){
                    if(1&(k>>i))res^=d2[i];
                }
                printf("%lld\n",res);
            }
        }
    }
    return 0;
}

posted @ 2022-11-30 22:22 spdarkle 阅读(250) 评论(0) 编辑收藏举报

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