矩阵乘法

矩阵乘法

定义，设A是$m\times n$矩阵，B是$n\times p$矩阵，则$C=A\times B$是一个$m\times p$矩阵

性质：

$A\times B$不一定等于$B\times A$,

$(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$,

$(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

定义，设$C=A\times B$,A是$m\times n$矩阵，B是$n\times p$矩阵,

$$C_{i,j}=\sum _{1\le k\le n}(A_{i,k}\times B_{k,j})\text{，其中}(1\le i\le m,1\le j\le p)$$

for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=p;j++)
        for(int k=1;k<=n;k++)
            c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

考虑一种特殊情形，矩阵$F\times Q$,其中$Q$是$n\times n$矩阵，$F$是$1\times n$矩阵
若是设$F^{\prime }=F\times Q$,则$F^{\prime }[i]=\sum _{k=1}^{n}F[k]\times Q[k,i]$,这里可以将其看作$F$中的第$k$个值会对$F^{\prime }$中的第$i$个值产生线性递推关系

列如$\mathrm{Fib}\mathrm{数}\mathrm{列}$，因为${\mathrm{Fib}}_n={\mathrm{Fib}}_{n-1}+{\mathrm{Fib}}_{n-2}$，则我们可以构建矩阵
$F_n=[{\mathrm{Fib}}_n,{\mathrm{Fib}}_{n+1}]$
矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$

则$F_n\times A=[{\mathrm{Fib}}_{n+1},{\mathrm{Fib}}_n+{\mathrm{Fib}}_{n+1}]=[{\mathrm{Fib}}_{n+1},{\mathrm{Fib}}_{n+2}]=F_{n+1}$
由此可见$F_i\times A=F_{i+1}$。故$F_0\times A^n=F_n$,此时可以由快速幂计算$A^n$以达到用矩阵乘法加速递推的效果

我们定义$F$为状态矩阵，$A$为转移矩阵，满足以下条件的就可以考虑矩阵乘法加速

1. $F$的每次递推是一个线性的，简单的递推关系
2. $F$是一个简单的一维向量，该向量在每个时间单位发生一次变化
3. 关于$F$的递推式始终不变
4. 递推轮数很长但其实$F$的长度（每次转移时的有效长度）不大

$A$的构造方法:如果递推式中含有$F_{i+1}[y]+=F_i[x]\times b,b\in \mathbb{Z}$,则将$A$的第$x$行第$y$列赋值为$b$
当涉及到$F_{i+1}[y]+=c$，$c$是一个固定常量，则我们可以考虑给$A$增加一个第$0$行，具体地把$F[0]$用起来设置$F[0]=1$,然后$A[0][y]$赋值为$c$即可