约数与同余
约数与同余
质数
1.质数分布定理：在\(1\sim N\)中大约有\(\frac{x}{\ln x}\)个，N越大越精准
2.判断n为质数的方法:试除法：(可以顺带求出约数集合)
int t=sqrt(n);
if(n<2)return false;
for(int i=2;i<=t;i++){
if(n%i==0)return false;
}
return true;
3.欧拉筛(线性筛质数)：
int v[MAX_N],prime[MAX_N];
void primes(int n){
memset(v,0,sizeof v);
int cnt=0;//质数数量
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]){
v[i]=i,prime[++cnt]=i;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(prime[j]>v[i]||prime[j]*i>n)
break;
v[i*prime[j]]=prime[j];
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)printf("%d ",prime[i]);
}
4.\(N!\)中质数p的个数为：
约数
1.设\(N\)被算术基本定理分解为\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}…p_m^{c_m}\)
则\(N\)的正约数个数为：
和为:
2.求\(1\sim N\)中每个数的正约数集合：倍数法
vector<int>factor[MAX_N];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n/i;j++){
factor[i*j].push_back(i);
}
}
时间复杂度为\(\Theta(N\log N)\)
推论：\(1\sim N\)中每个数的约数个数约为 \(N\log N\)
gcd
定理
\(\forall a,b\in \mathbb{N}\) ， \(\operatorname{lcm}(x,y)=\frac{x\times y}{\gcd(x,y)}\)
\(\forall a,b\in \mathbb{N}\) , \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a \bmod b )\)
exgcd:
解决：求：\(ax+by=\gcd(a,b)\)的一组解：
code:
int exgcd(int a,int b,int&x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;
x=y,y=z-(a/b)*y;
return d;
}
欧拉函数 \(\varphi\)
定义：\(1\sim N\)中与\(N\)互质的数的个数是关于\(N\)的欧拉函数，记作\(\varphi(N)\)
求法：
性质:
1.\(1\sim n\)中与\(n\)互质的数的和为：\(n \times \frac{\varphi(n)}{2}\)
2.若\(\gcd(a,b)=1\)，则\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)
3.在算术基本定理中\(n=\prod_{i=1}^m(p_i^{c_i})\),则\(\varphi(n)=\prod_{k=1}^m\varphi({p_i^{c_i}})\)， 此性质所有积性函数都具备
4.若\(p\)为质数且\(p|n,p^2|n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})p\)
5.若\(p\)为质数且\(p|n,p^2\nmid n\),则\(\varphi(n)=\varphi(\frac{n}{p})(p-1)\)
6.\(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)
欧拉函数的递推求解：
由性质4，5，我们可以在求质数的时候顺带求出欧拉函数
int v[MAX_N],prime[MAX_N],phi[MAX_N];
void euler(int n){
memset(v,0,sizeof v);
int cnt=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]){
v[i]=i;
prime[++cnt]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++){
if(prime[j]>v[i]||i*prime[j]>n)break;
v[i*prime[j]]=prime[j];
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
}
}
}
同余
1.欧拉定理
推论：
当a,n不一定互质的时候有(扩展欧拉定理)：
2.裴蜀定理： 对于任意整数a,b，存在一对整数x,y满足：\(ax+by=\gcd(a,b)\)
int exgcd(int a,int b,int&x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y);
int z=x;
x=y,y=z-(a/b)*y;
return d;
}
对于更加一般的一次不定方程\(ax+by=c\)，设\(d=\gcd(a,b)\)，它有解当且仅当\(d|c\)
我们可以先用\(\operatorname{exgcd}\)求出方程\(ax+by=d\)的一组解\(x_0,y_0\),这样方程\(ax+by=c\)的解\(x=x_0\times\frac{c}{d}\),y同理
由此我们可以设方程\(ax+by=c\)的一组解为\(x_0,y_0\)，则它的所有整数解为：
乘法逆元
定义，设\(bd\equiv 1 (\bmod n)\),则b为d关于模n的乘法逆元，d为b关于模n的乘法逆元
求法：1.若n是质数，则\(d=b^{n-2}\)
2.若仅仅是保证b,n互质，则d可通过求解线性同余方程求得
解线性同余方程
对于线性同余方程\(ax\equiv b (\bmod m)\)，可以将其看作\(ax+ym=b\)的不定方程来解，这里的\(x\)就是线性同余方程的解
中国剩余定理
设\(m_1,m_2,m_3………m_n\)是两两互质的整数，设\(M=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=\frac{M}{m_i}\),设\(t_i\)是线性同余方程\(M_it_i\equiv 1(\bmod m_i)\)的一个解
则对于同余方程组：
有解，解为：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(!b){
x=1,y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,x,y),z=x;
x=y,y=z-(a/b)*y;
return d;
}
int n,M[100005],m[100005],t[100005],a[100005],M1=1;
int CRT(){
for(int i=1;i<=n;i++)M1*=m[i];
for(int i=1;i<=n;i++)M[i]=M1/m[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
int x,y;
exgcd(M[i],m[i],x,y);
t[i]=x;
t[i]=(x%m[i]+m[i])%m[i];
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)ans+=M[i]*t[i]*a[i],ans%=M1;
return ans;
}
signed main(){
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
printf("%lld\n",CRT()%M1);
}
扩展中国剩余定理(excrt)
特别的，当\(m_1\sim m_n\)并不两两互质的时候
假设我们已经求出了前\(k-1\)个方程的通解，记\(m=\operatorname{lcm}(m_1\sim m_{k-1})\)，则\(x+im ,i\in \mathbb{Z}\)是方程的通解，此时我们需要求出一个\(t\)使得\(x+tm\equiv a_k(\bmod m_k)\),此时\(x+tm\)就是前k个方程的解,所以其实我们可以将excrt理解为n次exgcd
高次同余方程：\(a^x\equiv b (\bmod p)\)
拔山盖世(大步小步：Baby Step,Giant Step)算法
前提：a,p互质
因为a,p互质，所以可以在模p的意义下进行关于a的乘除运算
设\(x=i\times t-j,t=\lceil \sqrt p \rceil ,i\in [0,t],j\in [0,t-1]\)
则方程式子可变为：\((a^t)^i\equiv a^j\times b (\bmod p)\),此时枚举\(j\)的取值，将\(a_j\times b\)插入一个\(\operatorname{Hash}\)表中，然后再枚举\(i\)在表中查找即可
int BSGS(int a,int b,int p){
int t=sqrt(p)+1;b%=p,a%=p;
map<int,int>hash;hash.clear();
for(int i=0;i<t;i++){
hash[power(a,i,p)*b%p]=i;
}
a=power(a,t,p);
if(!a)return b==0?1:-1;
for(int i=0;i<=t;i++){
int m=power(a,i,p);
int j=hash.find(m)==hash.end()?-1:hash[m];
if(j>=0&&i*t-j>=0){
return i*t-j;
}
}
return -1;
}
exBSGS
\(Code\)
:
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
int gcd=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
return gcd;
}
inline int exBSGS(int a,int b,int mod)
{
b%=mod;
if(b==1||mod==1) return 0;
int g=0,val=1;
while(true)
{
int d=gcd(a,mod);
if(d==1) break;
if(b%d) return -1;
b/=d,mod/=d,val=val*a/d%mod;
g++;
if(b==val) return g;
}
int x,y;
exgcd(val,mod,x,y);
x=(x%mod+mod)%mod;
b=b*x%mod,a%=mod;
map<int,int>mp;
int t=ceil(sqrt(mod));
int z=1;
for(int i=0;i<t;i++)
mp[b*z%mod]=i,z=z*a%mod;
int p=1;
for(int i=1;i<=t;i++)
{
p=p*z%mod;
if(mp.count(p)) return i*t-mp[p]+g;
}
return -1;
}
signed main()
{
a=read(),p=read(),b=read();
while(a||b||p)
{
int ans=exBSGS(a,b,p);
if(ans==-1) puts("No Solution");
else printf("%lld\n",ans);
a=read(),p=read(),b=read();
}
return 0;
}
