线性筛2 筛约数个数

线性筛2

1.筛约数个数

根据唯一分解定理

$n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_q^{k_q}$

任意质因子的任意次幂都可以随意组合， 所以根据乘法原理

$n$的约数个数为 $(1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)$

so, 可以根据这个线性筛约数个数

首先设 $num(i)$ 为$i$ 的 $k_1$ (也就是最小质因数的指数) $d(i)$ 为 $i$ 的约数个数

然后根据线性筛那套理论 分三种情况

1. ​ $\large i是质数$

很显然 $num(i) =2$ $d(i) = 2$

1. $i\ \ mod\ \ prime[j]=0$

说明$i$ 中有这个质因数，且是$i$ 的最小质因数

则 $d(i*prime[j])=(1+k_1+1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)$

​ $=d(i)/num(i) * (num(i) +1)$

$num(i*prime[j])=num(i)+1$

1. $i\ \ mod\ \ prime[j]!=0$

   说明$i$ 中没有这个质因数，且$prime[j]$ 为$i*prime[j]$ 的最小质因数

   则$d(i*prime[j])=(1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)*(1+k_{q+1})$

   ​ $=d(i)*(1+k_{q+1})$

   ​ $=d(i)*2$

   $num(i*prime[j])=2$

   这里由于$prime[j]$ 是第一次出现 所以是2