线性筛2 筛约数个数

线性筛2

1.筛约数个数

根据唯一分解定理

\(n = p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_q^{k_q}\)

任意质因子的任意次幂都可以随意组合， 所以根据乘法原理

\(n\)的约数个数为 \((1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)\)

so, 可以根据这个线性筛约数个数

首先设 \(num(i)\) 为\(i\) 的 \(k_1\) (也就是最小质因数的指数) \(d(i)\) 为 \(i\) 的约数个数

然后根据线性筛那套理论 分三种情况

1. ​ \(\large i是质数\)

很显然 $num(i) =2 $ \(d(i) = 2\)

1. \(i\ \ mod\ \ prime[j]=0\)

说明\(i\) 中有这个质因数，且是\(i\) 的最小质因数

则 \(d(i*prime[j])=(1+k_1+1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)\)

​ \(=d(i)/num(i) * (num(i) +1)\)

\(num(i*prime[j])=num(i)+1\)

1. \(i\ \ mod\ \ prime[j]!=0\)

   说明\(i\) 中没有这个质因数，且\(prime[j]\) 为\(i*prime[j]\) 的最小质因数

   则\(d(i*prime[j])=(1+k_1)*(1+k_2)*(1+k_3)*...(1+k_q)*(1+k_{q+1})\)

   ​ \(=d(i)*(1+k_{q+1})\)

   ​ \(=d(i)*2\)

   \(num(i*prime[j])=2\)

   这里由于\(prime[j]\) 是第一次出现 所以是2