线性筛1

筛法

线性筛素数

保证每次只被自己最小的质因数筛到。。

void yych()
{
	for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
	{
		if(!vis[i])	prime[++tot] = i;
		for(int j = 1; j <= tot&&i * prime[j] <= maxn; j ++)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0)	break;
	     }
}

筛phi

欧拉函数 $phi(i)$ 为小于i 的正整数中与$i$互质的数的个数， 然后有公式

$\phi(x) = x*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

​ 然后考虑怎么筛， 还是分三种情况

1.$i$是质数 则显然 $\color{green}{phi(i) =(i-1)}$

2.$i$ 能整除质数$p$, 则说明$i$ 中含有$p$ 这个质数， 则后面的质数不会改变，只是在本身上乘上$p$;

$\phi(i) = i*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

$\phi(i*p) = i*p*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

So， $\color{green}{phi(i*p) = phi(i)*p}$

3.$i$ 不能整除质数$p$, 说明$i$中不含$p$这个因数, 也就是原来多乘了$p*(1-\dfrac{1}{p})$ , 化简得$(p-1)$;

$\phi(i) = i*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

$\phi(i*p) = i*p*(1-\dfrac{1}{p})*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

​ $= i*(p-1)*(1-\dfrac{1}{p_1})*(1-\dfrac{1}{p_2})*...*(1-\dfrac{1}{p_k})$

So, $\color{green}{phi(i*p) = phi(i)*(p-1)}$;

void yych()
{
	phi[1] = 1;
	for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			phi[i] = (i-1);
		}
		for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0)
			{
                  phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
}

筛mu

可以放心，和反演无关

根据莫比乌斯函数定义来筛：

根据唯一分解定理

$i = p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}...p_q^{k_q}$

对于一个数$i$, $$\mu(i)=\begin{cases} 1, &(i=1)\0, & (\exists k, k>1)\(-1)^q ,&(\forall k, k<=1) \end{cases}$$

​ 1.则对于一个质数$i$， 显然

​ $\color{green}{\mu(i)=-1}$,

​ 2.若$i$能整除$p$, 则$i$中$p$ 的原来指数至少为1， $i*p$ 中$p$指数就一定大于1

​ $\color{green}{\mu(i*p)=0}$

​ 3.若$i$不能整除$p$, 则$i$中原来没有$p$ 这个质数， $i*p$ 相当于多了一个质数， 则$q+=1$, 奇变偶， 偶变奇。。。。

​ $\color{green}{\mu(i*p)=-\mu(i)}$

void yych()
{
    mu[1] = 1;
	for(int  i = 2; i <= maxn; i ++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++tot] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot&&prime[j]*i <= maxn; j ++)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i%prime[j] == 0)
			{
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
			else
		       mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}