Dijkstra 算法
算法的核心思想:在尚未使用的顶点中,d[i]最小的顶点就是最短距离已经确定的顶点
解释:以图1-1为例,假设A,B,C已经被标记,则剩下的点可以认为经过A,B,C三点的松弛操作(看通过这个点作为中转站会不会使得其他点离起点更近)。
那么在被标记的顶点中,找出d[i]最小的顶点,就可以认为它就是最短距离已经确定的顶点。我们用反证法,假如它的值不是最短距离,那么你想A,B,C三点已经都对其余剩下所有的点进行了松弛操作,那么现在就不能再使其他点到起点的距离变得更短;那么就只能想办法通过其他点让它到起点的距离变短,然而由于不存在负边,不可能通过其他的点让它到起点的距离变得更短(不会在之后的更新中变小)。因此,就可以认为它就是最短距离已经确定的顶点。
自然而然我们就发现Dijkstra 算法不适合处理有负边的情况
模板如下:
int cost[MAX_N][MAX_N]; //cost[u][v]表示边e(u,v)的权值(不存在时设为INF) int d[MAX_N]; //图上各点到顶点s的最短距离 int vis[MAX_N]; //已经使用过的图 int n; //顶点数 memset(vis, 0, sizeof(vis)); memset(d, 0x3f, sizeof(d)); d[s] = 0; while (1) { int v = -1; //从尚未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点 for (int i = 1; i <= n; i++) if (vis[i]==0 && (v==-1||d[i]<d[v])) v = i; if (v==-1) break; vis[v] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) d[i] = min(d[i], d[v]+cost[v][i]);//对周围的点进行松弛操作 }
仔细想想,其实我们还能进一步优化这个算法,需要优化的是数值的插入(更新)和取出最小值两个操作,因此使用堆就可以了。
优化后的模板入下:
struct edge {int to, cost}; typedef pair<int , int> P; int V; vector<edge> G[MAX_V]; int d[MAX_V]; priority_queue<P, vector<P>, greater<P> >que; fill(d, d+V, INF); d[s] = 0; que.push(P(0, s)); while (!que.empty()) { P p = que.top(); que.pop(); int v = p.second; if (d[v]<p.first) continue; for (int i = 0; i < G[v].size(); i++) { edge e = G[v][i]; if(d[e.to]>d[v]+e.cost) { d[e.to] = d[v]+e.cost; que.push(P(d[e.to, e.to])); } } }