杭州 Day 4 下午 简单数学

数学问题

初等数论

• $a | b$：$a$ 整除 $b$，也就是 $a$ 是 $b$ 的因数，$b$ 是 $a$ 的倍数，$b = ka$

• 取模 取整：$b = ka + r$，其中 $0 ≤ r < a$，则称 $⌊\frac{b}{a}⌋ = k$，$b \mod a = r$。

• 整数唯一分解定理：每个整数 $n$ 可以唯一的写成 $\prod p_i^{k_i}$ 的形式，其中 $p_i$ 是第 $i$ 个质数。

• $ lcm (a, b) \times gcd(a, b) = a \times b $，（本质：$max(a,b)=a+b-min(a,b)$）

• $Min-Max$ 容斥：$\max_{x∈S} x = \sum_{∅≠T⊆S}(-1)^{|T|-1} \min _{x∈S}x$

• 扩展 $Min-Max$ 容斥：$kth \ max(S) = \sum_{∅≠T⊆S}(-1)^{|T|-k} C_{k-1}^{|T|-1} min(T)$

• $lcm(s)=\prod_{∅≠T⊆S} gcd(T)^{{(-1)}^{|T|-1}}$

• $gcd(x^a -1 , x^b -1 )=x^{gcd(a,b)-1}$

• $Fibonacci$ 数列相邻两项互质。$F(n) = F(m)F(n − m − 1) + F(m − 1)F(n − m)$

• 对于斐波那契数列，$gcd(F(a), F(b)) = F(gcd(a, b))$

• 费马小定理：当 $p$ 是质数，$p ∤ a$ 时，$a^p−1 ≡ 1 (mod$ $p)$

• 扩展欧拉定理：$当 gcd(a, m)≠1 时$，有 $a^k ≡ a^{min (k,k\mod φ(m)+φ(m))}(mod$ $m)$

Miller-Rabin

Almost $O(\log n)$ 近似判断一个数是不是质数。

如果 $p$ 是质数，设 $p − 1 = d × 2^r$，则对于 $a < p$，有

$a^d ≡ 1 (mod$ $p) ∨ ∀0 ≤ i < r, a^{d\times 2^i}≡ −1 (mod$ $p)$

在 $long$ $long$ 范围内，取 $a ∈ {2, 3, 5, 7, 13, 29, 37, 89}$ 依次检验，保证不出错

整除分块

一般用于对于所有的 $1 ≤ i ≤ n$，处理关于 $⌊\frac{n}{i}⌋$ 的相关问题。

算法基于 $⌊\frac{n}{i}⌋$ 只有 $O(√n)$ 种取值。

流程如下，初始 $l = 1$

1. 这一段的整除值计算为 $val = ⌊\frac{n}{l}⌋$
2. 这一段的右端点为 $r = ⌊\frac{n}{val}⌋$
3. 处理完 $[l,r]$ 的信息后，$l ← r + 1$，继续处理下一段，超过 $n$ 就退出。

博弈论

$n$ 堆石子，分别有 $a_1, a_2, · · · , a_n$ 个，每次从某一堆中拿走若干个，两人轮流操作，不能操作者输。

必胜态：$a_1 ⊕ a_2 ⊕ · · · ⊕ a_n ≠ 0$

对于阶梯 Nim 游戏，即有 每次从第 $i$ 堆中拿走若干个放进第 $i − 1$ 堆，看作只保留所有奇数堆进行的 Nim 游戏解决。

Anti-Nim 游戏：

先手必胜的条件为：

• 1. 每堆都是 $≤ 1$ 个，异或和为 0
• 2. 存在某堆 $> 1$ 个，异或和不为 0