浅谈 [NOIP 2023]三值逻辑无限种解法

前言

对于 NOIP 2023，T1 是个人人都会写的签到题，对于 T3 则是做法唯一只能按照提醒的数据范围一步一步走，对于 T4 则是只能线段树优化 dp。思维局限性大，并没有什么深度挖掘的意义。直到有一天睡觉的时候又想起来 T2 这个题，觉得有必要把这个题相关的所有方法记录下来。故于此记录。

法一：并查集

考虑对于前 20 pts 的解法，理论可以直接枚举所有可能，但是由于可以特判出一些显然错误的方案，所以枚举的方案数是不全的。理论复杂度 $O(3^n)$ ，而实际远远到不了这个复杂度。

对于中间只有赋值操作的 20 pts，直接并查集维护即可。

考虑正解，显然是有办法对于并查集解法进行优化的。我们要最小化不确定值的个数，那么首先要知道如何判定谁可以是不确定的数。对于任意一个数 $x$ ，如果 $x$ 的祖先是 $-x$ 。或者 $x$ 的祖先是 $U$ 。直接并查集维护，但是期间有一些细节。对于取相反数，会出现 $fa[-x]$ 导致下标错误，所以要分类讨论。当然，我们在模拟样例的时候发现，会出现反复取反的情况，即 $x$ -> $-x$ -> $x$ ，这样在执行并查集的时候会陷入死循环，所以再开一个 $v$ 来记录是否到达过 $x$ 的 $-x$ 。当然，对于数组 $v$ 也会出现下标为 $<0$ 的情况，所以下标统一上移 $n$ 。剩下的直接代码实现即可。

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法二：二分图

这个题好玩的地方在于，很多种 trick 都可以对这个题使用。

化繁为简，考虑将 $T,F,U$ 赋值操作也更改为下面那些类型的操作， $T$ 更改为 $x_{n+1}$ ， $F$ 更改为 $-x_{n+1}$ ， $U$ 更改为 $x_{n+2}$

建立 $01$ 无向图，当涉及取反操作时那么边权为 $1$

对于样例，我们发现，如果只有 $T,F$ 那么结果一定是 $Unknown$ 。所以，如果图上出现了一个环其边权为一的边有奇数条，所以我们现在的任务就是判定是否存在这样的话，即判二分图。如果不是二分图，那么整个联通块都是 $U$ ，单独统计 $x_{n+2}$ ，更新答案

submission

法三：拆点 BFS

把所有的赋值操作改为拆点。每操作一次多拆一个点。

操作一：对 $x$ 建一个新版本赋值，直接实现
操作二、三：对于 $x$ 建一个新版本，和 $y$ 得最新版本连边权为 $1$ 或 $0$ 的无向边，当涉及取反操作时那么边权为 $1$

考虑初始情况和末尾情况，操作始末状态相同，需要把每个点始末版本连一条代表相等得边。然后发现每个连通块只有三种状态，且相互独立。可以 BFS 直接计算。

法四：基环树

我们仍然借鉴第二个方法找环的思路，但是并不是使用二分图。

对于我们最后得到结果，只要不是定值就一定可以写成 $k \times a_i$ ， $k∈[-1,1]$ 。我们原来建立的是 $01$ 无向图，而我们现在建立的就是一个有边权的无向图了。对于 $a_i$ 为 $k \times a_j$ 形式，连接 $i,j$ 边权为 $k$ 。这样就建出了基环树。如果对于一个点其值已知就可以便利图求联通块。

然后，考虑找环。我们再回到解法一所说，如果有 $x$ 的祖先为 $-x$ 的情况，就会出现 $Unknown$ ，那么我们就能得出结论，如果我们这个环的边权乘积为 $-1$ ，即化简后出现了 $a_x \times -a_y$ 的情况，则整个联通块都是 $U$

法五：2-SAT

~~大炮打苍蝇~~

2-SAT 可以用来解决有 $n$ 对二元矛盾组所构成的集合从中任意找一个元素 $x$ 从而找到与其不矛盾的。

思路非常符合本题，因为本题全是二元组。并且取反操作前边都能 $01$ 边权了，这里自然也可以定义矛盾。

设 $1$ ~ $n+m$ 的点表示为 $T$ 的点，其中 $x_{k+n}(1≤k≤n)$ 表示在第 $k$ 次操作被操作的变量的值（操作后）。设 $n+m+1$ ~ $2 * (n+m)$ 表示 $x_1,...x_{n+m}$ 为 $F$ 的点。

如果给 $x_i$ 为 $U$ ， $i$ 和 $i + n + m$ 连双向边。 $x_i$ 为 $T$ ， $i + n + m$ 向 $i$ 连单向边。 $x_i$ 为 $F$ ， $i$ 向 $i + n + m$ 连单向边。 $x_i$ 赋值为 $x_j$ ， $j$ 决定了 $i$ ， $i$ 也可以倒推出 $j$ ， $cur_j$ 和 $i$ 连双向边， $cur_j + n + m$ 和 $i + n + m$ 连双向边。如果是 $x_i$ 赋值为 $¬x_j$ ， $j$ 决定了 $i$ ， $i$ 也可以倒推出 $j$ ， $cur_j + n + m$ 和 $i$ 连双向边， $cur_j$ 和 $i + n + m$ 连双向边。