斜率优化 dp

适用条件

在单调队列优化 dp 中常见转移方程中，如果 $cost(i,j)$ 多项式包含 $i, j$ 乘积项，则可以化成一次函数维护斜率解决。

以P5785 [SDOI2012] 任务安排为模板，主要记录如何斜率优化

转移方程为（不多赘述）

f_{i} = min_{0 \leq j < i} {f_{j} + S \times (s c_{n} - s c_{j}) + s t_{i} \times (s c_{i} - s c_{j})}

$f_i = \min_{0≤j<i}\{f_j + S \times (sc_n - sc_j) + st_i \times (sc_i - sc_j)\}$

提出式子中含有单独 $i$ 的常量： $f_i = st_i\times sc_i + S \times sc_n + \min\bigg(f_j - S \times sc_j - st_i \times sc_j\bigg)$

考察 $min$ 函数内部的多项式： $f_j - sc_j \times (S + st_i)$
该式子中，有 $i \times j$ 的项，因此不能直接用上一章节中提到的滑动窗口来维护一个前缀的最值，但是分析的思想可以继承，含 $i$ 的项是一个常量，故该多项式就能够抽象成如下形式：

f_{j} - s c_{j} \times (S + s t_{i}) = 变 量 1 - 变 量 2 \times (常 量 S + 常 量 i)

$f_j - sc_j \times (S + st_i) = 变量1 - 变量2 \times (常量S + 常量i)$

注意，这里的变量1 和变量2 并不是两个独立变量（该函数非多元函数）

变量1 $f_j$ 是与 $j$ 有关的变量，变量2 $sc_j$ 也是与 $j$ 有关的变量

因此，不妨令 $\begin{cases} f_j = y(j) \\\\ sc_j = x(j) \\\\ k = S+st_i \end{cases}$ ，则该函数可以化为： $y(j) - k \cdot x(j)$

把 $y(j)$ 写成 $y$ ， $x(j)$ 写成 $x$

求 $y - kx ~ (0 \le j \lt i)$ 函数的极值问题，可以直观想到直线的斜截式方程： $y = kx + b$
对直线的斜截式方程进行变形： $b = y - kx$
要求 $y - kx ~ (0 \le j \lt i)$ 函数的极值，就是求一个点 $(x_j, y_j)$ 与当前 $k_i$ 构成的所有直线中，y 轴截距最小

图中，黑色点为所有 $0 \le j \lt i$ 的点 $(x_j,y_j)$ ，红色线为斜率是 $k_i$ 的某一条直线

从下往上（截距从小到大）去逼近当前所有的点

则第一个出现在直线上的点，就是满足 $b_i = y_j - kx_j$ 的最小截距 $b_i$ ，即是当前阶段 DP 的最佳策略

那么，如何有效的维护点集呢？

这就是一个线性规划的问题了：在点集中，找到一个点，绘制固定斜率的直线，使得截距最小

由线性规划知识可知：只用考虑点集中凸壳上的点即可，几何直观上，显然这题要维护的是下凸壳

因此，对于任意的 $f_i$ 来说，我们只需去寻找下凸壳上的点构成直线的最小截距即可

这样时间复杂度在最坏的情况下，还是 $O(n^2)$ （即所有点的 $(x,y)$ 单增，全部点构成一个下凸壳）

直线方程中，各参数的性质
由于 $t_i, c_i$ 都是正整数，故他们的前缀和 $st_i,sc_i$ 是单调递增的

对应于直线方程的参数： $x_j = sc_j$ 是单调递增的， $k_i = S + st_i$ 也是单调递增的
而下凸壳中相邻两点构成的直线斜率也是单调递增的
则下凸壳中第一个出现在直线上的点，满足： $k_{j-1, j} \le k_i \lt k_{j,j+1}$ ，此时直线截距 $b_j$ 最小

而又由于 $k_i$ 单调递增，所以 $j$ 之前的点都不会是点集中出现在直线上的第一个点

此时只需维护点集区间 $[j,i]$ 的点即可，直到 $k_{j,j+1} \le k \lt k_{j+1,j+2}$ 时，维护点集区间变为 $[j+1,i]$

根据上述所说，出现了我们最熟悉的模型-滑动窗口模型。

故我们可以直接利用单调队列来维护下凸壳中的有效点集
并用队头的两个元素维护大于当前斜率 $k_i$ 的最小斜率 $k_{q_{hh}~,~q_{hh+1}}$
这里我把公式展开，方便大家理解：

k_{q_{h h}, q_{h h + 1}} > k_{i} \Rightarrow \frac{y_{q_{h h + 1}} - y_{h h}}{x_{q_{h h + 1}} - x_{h h}} > k_{i} \Rightarrow \frac{f_{q_{h h + 1}} - f_{h h}}{s c_{q_{h h + 1}} - s c_{h h}} > S + s t_{i}

$k_{q_{hh}~,~q_{hh+1}} \gt k_i \Rightarrow \frac{y_{q_{hh+1}}-y_{hh}}{x_{q_{hh+1}}-x_{hh}} \gt k_i \Rightarrow \frac{f_{q_{hh+1}}-f_{hh}}{sc_{q_{hh+1}}-sc_{hh}} \gt S+st_i$

把点插入单调队列前，先要队列中至少有两个点，然后把满足 $k_{q_{tt-1}~,~q_{tt}} \ge k_{q_{tt}~,~i}$ 的点 $q_{tt}$ 弹出
即新加入的点，必须和原点集构成下凸壳，无效点要先删去，把公式展开：

k_{q_{t t - 1}, q_{t t}} < k_{q_{t t}, i} \Rightarrow \frac{y_{q_{t t}} - y_{q_{t t - 1}}}{x_{q_{t t}} - x_{q_{t t - 1}}} < \frac{y_{i} - y_{q_{t t}}}{x_{i} - x_{q_{t t}}} \Rightarrow \frac{f_{q_{t t}} - f_{q_{t t - 1}}}{s c_{q_{t t}} - s c_{q_{t t - 1}}} < \frac{f_{i} - f_{q_{t t}}}{s c_{i} - s c_{q_{t t}}}

$k_{q_{tt-1}~,~q_{tt}} \lt k_{q_{tt}~,~i} \Rightarrow \frac{y_{q_{tt}}-y_{q_{tt-1}}}{x_{q_{tt}}-x_{q_{tt-1}}} \lt \frac{y_{i}-y_{q_{tt}}}{x_{i}-x_{q_{tt}}} \Rightarrow \frac{f_{q_{tt}}-f_{q_{tt-1}}}{sc_{q_{tt}}-sc_{q_{tt-1}}} \lt \frac{f_{i}-f_{q_{tt}}}{sc_{i}-sc_{q_{tt}}}$

这样，队列中相邻两点之间构成的直线斜率单增，也就是我们的有效下凸壳点集

时间复杂度： $O(n)$

#include <bits/stdc++.h>

#define rint register int
#define int long long
#define endl '\n'

using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;

int n, s;
int t[N], c[N]; //时间、费用的前缀和数组
int f[N]; //设 f[i] 表示前 i 个任务分成若干批执行的最小费用
int q[N]; 

signed main()
{
    cin >> n >> s;

    //预处理前缀和
    for (rint i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> t[i] >> c[i];
        t[i] += t[i - 1];
        c[i] += c[i - 1];
    }

    //初始化
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;

    //斜率优化 dp
    int l = 0, r = 0; //0 也是一种方案，最开始队列中有一个 0
    q[0] = 0;
    for (rint i = 1; i <= n; i++)
    {
        //注意，由于每条线段需要两个点构成，所以队列中至少需要存在两个元素
        while (l < r && f[q[l + 1]] - f[q[l]] <= (s + t[i]) * (c[q[l + 1]] - c[q[l]])) l++;
        /*
        乘法是移项的结果
        但是如果乘法会爆 long long
        则换回除法
        因为好像乘法比除法精度高一点点
        */
        int j = q[l];
        f[i] = f[j] - (s + t[i]) * c[j] + t[i] * c[i] + s * c[n]; //状态转移方程
        while(l < r && (f[q[r]] - f[q[r - 1]]) * (c[i] - c[q[r]]) >= (f[i] - f[q[r]]) * (c[q[r]] - c[q[r - 1]])) r--;
        q[++r] = i;
    }
    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}

CF311 Cats Transport

对于每只猫，设 $a[i] = T[i] - \sum_{1≤j≤H[i]}{ D[j] }$ 。一名饲养员如果想接到第 $i$ 只小猫，就必须在 $a[i]$ 时刻及以后从 $1$ 号山出发，若出发时刻为 $t$ ，则这只猫的等待时间为 $t - a[i]$

把 $a[i]$ 从小到大排序，求出排好序的 $a$ 数组的前缀和，记录在数组 $s$ 中，根据贪心策略，每个饲养员带走的猫一定是按照 $a$ 排序后连续的若干只，毕竟早结束的小猫需要越早接，不然等待的时间只会越多。

设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个饲养员带走前 $j$ 只小猫，猫等待的时间总和最小值

假设第个饲养员带走第 $k + 1$ ~ $j$ 只小猫，那么该饲养员的最早出发时间就是 $a[j]$ ，这些猫的等待时间之和就是

$\sum_{k + 1 ≤ p ≤ j}{ a[j] - a[p] } = a[j] * (j - k) - (s[j] - s[k])$

得出状态转移方程：

f [i] [j] = min_{0 \leq k < j} f [i - 1] [k] + a [j] * (j - k) - (s [j] - s [k])

$f[i][j] = \min_{0 ≤ k < j}{ f[i - 1][k] + a[j] * (j - k) - (s[j] - s[k]) }$

把外层循环 $i$ 看作定值， $j$ 是状态变量， $k$ 是决策变量，方程中存在乘积项 $a[j] * k$ ，应考虑是用斜率优化，去掉
$min$ 函数，对方程进行移项， $f[i - 1][k] + s[k] = a[j] * k + f[i][j] - a[j] * j + s[j]$

以 $k$ 为横坐标， $f[i - 1][k] + s[k]$ 为纵坐标建立平面直角坐标系，上式是一条以 $a[j]$ 为斜率， $f[i][j] - a[j] * j + s[j]$
为截距的直线，当截距最小化时， $f[i][j]$ 取到最小值。

在最小化截距的线性规划问题中，应维护一个下凸壳，建立一个单调队列，队列中相邻两个决策 $k1$ 和 $k2$ 应满足 $k1 < k2$ 并且
“斜率” $((f[i - 1][k2] + s[k2]) - (f[i - 1][k1] + s[k1])) / (k2 - k1)$ 单调递增，因为直线斜率 a[j] 也已从小到大排序，
所以就是一个非常经典的斜率优化 $dp$ 。

对于每个状态变量 $j$ ：

检查队头的两个决策变量 q[l] 和 q[l + 1]，若斜率 ((f[i - 1][q[l + 1]] + s[q[l + 1]) - (f[i - 1][q[l]] + s[q[l]])) / (q[l + 1] - q[l]) <= a[j]，则把 q[l] 出队，并继续检查新的队头
直接取队头 k = q[l] 为最优决策，执行状态转移，计算出 f[i][j]
把新决策 j 从队尾插入，在插入之前，若三个决策点 k1 = q[r - 1], k2 = q[l], k3 = j 不满足斜率单调递增
（不满足下凸性，即 k2 是无用决策），则直接从队尾把 q[r] 出队，并继续检查队尾

时间复杂度 $O(PM)$

submission

P3571 [POI2014] SUP

设 $f_i$ 表示为当前一次操作最多访问 $i$ 个未访问的点的最小操作次数， $s_i$ 表示表示深度 $\geqslant i$ 的节点个数，有

$f_i=max(j+ \lceil \frac{s_{j+1}}{i} \rceil)$

若 $i$ 是最优决策， $∀j\neq i$ ， $i+\lceil\dfrac{s_{i+1}}k\rceil\geq j+ \lceil\dfrac{s_{j+1}}k\rceil$ 。变形得 $i-j \geq \lceil\dfrac{s_{j+1}-s_{i+1}}k\rceil$ 。深度为横坐标，纵坐标为 $s_{x+1}$ ，当 $j<i$ 时， $\dfrac{s_{i+1}-s_{j+1}}{i-j}\geq -k$ ，当 $j>i$ 时， $\dfrac{s_{i+1}-s_{j+1}}{i-j}\leq -k$ ，发现斜率递减。

对 $(i,s_i)$ 建出上凸包，当 $-k$ 递减，顶点会向横坐标大的方向移动，指针维护。

复杂度 $\mathcal{O}(n)$

submission

CF1179D Fedor Runs for President

子树大小为 $sz_i$ ，该路径上不同子树之间的点相互访问的简单路径增加了一条，增加路径数 $\sum_{i∈path} {(n-sz_i)*sz_i} = \frac{1}{2} (n^2- \sum sz_i^2)$

要求 $\sum sz_i$ 的最小值

寻找性质，发现路径的两端必定为叶子或者根，若不为叶子，让他的端点向子树方向扩展，那么得到 $sz_i$ 更小

$f[i]$ 表示以 $i$ 为根的子树中 $\sum sz[i]$ 最小的链，转移方程为

f [i] = min_{j \in s o n (i)} {f [j] + (s z [i] - s z [j])^{2}}

$f[i]=\min_{j∈son(i)}\{f[j]+(sz[i]-sz[j])^2\}$

对于根 $s$ ，可以将 $i，j$ 和并

a n s = min_{j \in s o n (i)} {a n s, f [i] + f [j] + (n - s z [i] - s z [j])^{2}}

$ans=\min_{j∈son(i)}\{ans,f[i]+f[j]+(n-sz[i]-sz[j])^2\}$

将 $s$ 与 $i$ 合并， $ans=\min_{j∈son(i)}\{f[i]+(n-sz[i])^2\}$ ，斜率优化，式子变为 $f[j] + (n - sz[j]) ^ 2 = 2 * sz[i] * (n - sz[j]) + ans - sz[i] ^ 2 - f[i]$ ，以 $n-sz[j]$ 为 $x$ 轴，以 $f[j] +(n-sz[j])^2$ 为 $y$ 轴，单调队列维护斜率即可。