线性代数——行列式
行列式
1.1.1 认识行列式
我们解一个方程组\(\begin{equation}\left\{\begin{aligned}5x+6x&=7\\9x+4y&=3\\\end{aligned}\right.\end{equation}\),易知：\(\begin{equation}\left\{\begin{aligned}x&=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\\y&=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\\\end{aligned}\right.\end{equation}\)
我们在这里定义一个新运算：\(y=\)\(\frac{\left|\begin{array}{cccc} 5 & 7 \\ 9 & 3 \end{array}\right| }{\left|\begin{array}{cccc} 5 & 6 \\ 9 & 4\end{array}\right| }\)
就是 \( \left| \begin{array}{cccc} a & b \\ c & d \end{array} \right| \) \(=ad-bc\)
到这里我们就开始正式说行列式了！
什么叫行列式呢？上面那个“新运算”就是一个二阶行列式
二阶行列式
二阶行列式：2行2列，4个元素（不叫四个数）
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right| \) \(=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)
我们来说说 \(a_{ij}\) ：\(i\) 是行标，表示第几行，\(j\) 是列标，表示第几列。
主对角线 ：从左上角到右下角这条线；
次对角线 ：从左下角到右上角这条线；
三阶行列式
先举个例子：\( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right| \) \(=1*5*9+2*6*7+4*8*3-3*5*7-2*4*9-1*6*8\)
这个计算看起来非常难懂对吧。我们在后边会具体说明。
为了方便之后说到 \(n\) 阶行列式，这里引入一些概念。
排列 ： 由 \(1,2,...,n\) 组成的一个有序数列。
逆序 ： 大的数排在小的前面（注意，比如序列 \(a_1a_2a_3\) ， 只要 \(a_1>a_2,a_1>a_3\) 就是了，不一定要 \(a_2<a_3\)）
逆序数 ： 逆序的总数，比如 \(4213\) ，\(4\) 后 \(2,1,3\) 比他小，有三个 ，\(2\) 后 \(1\) 比他小，一个， \(1\) 之后没有小的，所以逆序数 \(N(4213)=3+1=4\)
偶排列 ： 如果逆序数是偶数则为偶排列
奇排列 ： 如果逆序数是偶数则为奇排列
\(n\) 级标准排列 ： \(N(123...n)=0\)
再比如 \(N(n(n-1)...321)=n-1+n-2+...+2+1=\frac{n(n-1)}{2}\)
对换 ： 一个排列中交换两个数
- 推论 ： 一个交换，奇偶性改变
- 定理 ： 在所有的 \(n\) 级排列中，奇排列偶排列各占 \(\frac{n!}{2}\)
1.1.2 \(n\) 阶行列式
我们可以先引入三阶行列式观察：
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{32} \end{array} \right| \) \(=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)
发现规律：
- 行标取标准排列
- 列标取排列所有可能
- 从不同行不同列取出 \(3\) 个元素相乘，符号由列标排列奇偶性决定，偶对正号，反之，奇对符号
现在就可以说 \(n\) 阶行列式：
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...&...&...&...\\ a_{31} & a_{32} & ... & a_{3n} \end{array} \right| \) \(=\sum_{j_1j_2...j_n}^{}(-1)^{N(j_1j_2...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}..a_{nj_n}\)
由于这个东西太难写了，我们一般化简为 \(D=|a_{ij}|\)
1.1.3 行列式模型
1.1.3.1 下三角行列式
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ ... & ... & ...&\\ a_{n1} & ... & ... & a_{nn} \end{array} \right| \) \(=a_{11}*a_{22}...*a_{nn}\)
1.1.3.2 上三角行列式
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}& a_{1n}\\ & a_{22} & ...& a_{2n}\\ & & ...&... \\ & & & a_{nn} \end{array} \right| \) \(=a_{11}*a_{22}...*a_{nn}\)
1.1.3.3 对角线行列式
\(
\left|
\begin{array}{cccc}
a_{11} & & & \\
& a_{22} & & \\
& & ...& \\
& & & a_{nn}
\end{array}
\right|
\) \(=a_{11}*a_{22}...*a_{nn}\)
2.1 行列式的性质
再说一个概念：
转置 ： 将原来的行变成列，列变成行
\(D=\) \(
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right|
\) \(-->\) \(D^T=\) \(
\left|
\begin{array}{cccc}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8\\
3 & 6 & 9
\end{array}
\right|
\)
易知 \((D^T)^T==D\)
好，现在开始说性质
核心理论 : 对行成立的性质，对列也成立【这个非常重要！！！】
性质1 ： \(D^T=D\) （计算结果一样）
性质2 ： 两行互换，值变号
- 推论：两行或两列相等，\(D=0\)
性质3 ： 某一行都乘 \(k\) ，等于用 \(k\) 乘 \(D\)
- 推论 ： 某一行都有共因子 \(k\) ， \(k\) 可以提到外面去
- 推论 ： 行列式所有元素均有公因子 \(k\) ， \(k\) 往外提 \(n\) 次（ \(n\) 为行列式阶数）
性质4 ： 两行对应成比例， \(D=0\)
- 推论 ： 某一行全为 \(0\) ， \(D=0\)
性质5 ： 是和的那一行分开，其余保持不变，比如
\( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 1+2 & 2+3 & 4+3\\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right| \) \(=\) \( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4\\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right| \) \(+\) \( \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3\\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right| \)
性质6 ： 某一行（列）乘一个属，加到另一行（列）上去， \(D\) 不变。
2.2 按行展开
再说几个基本概念；
余子式 ： 指定某一个元素，将此元素所在行和列去掉，将剩下的元素按原来的位置排好，形成的新的行列式称为该元素的余子式（如果该元素位 \(a_{ij}\) ，则其余子式为 \(M_{ij}\)
代数余子式 ： 指定某一个元素 \(a_{ij}\) ，则其代数余子式为 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}D\)
按行展开定理 ： 给定一个行列式，它等于任意一行各元素与其取对应的代数余子式乘积之和。
2.3 异乘变零定理
给定一个 \(n\) 阶行列式，某行元素与其另一行元素取对应的代数余子式乘积之和为零。
2.4 拉普拉斯定理
再说几个概念：
\(k\) 阶子式 ： 给定一个行列式，取定 \(k\) 行 \(k\) 列，交叉位置所构成的行列式为 \(k\) 阶子式
余子式 ： \(k\) 行 \(k\) 列未触及到的
代数余子式 ： \(余子式*(-1)^{Σ所取列标+Σ所取行标}\)
在 \(n\) 阶行列式 \(D=|a_{ij}|\) 中，任意取定 \(k\) 行（列）， \(1≤k≤n-1\) ，由这 \(k\) 行（列）的元素所构成的一切 \(k\) 阶子式与其代数余子式的乘积的和等于行列式 \(D\) 的值
3. Cramer 法则
这个法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。
基础概念：
系数行列式 ： 顾名思义，把系数构成一个行列式（ 该行列式唯一，元素位置同方程系数位置 ）
它的使用条件：
- 方程个数等于未知量个数
- 系数行列式 \(D≠0\)
\(Cramer\) 法则：\(x_k=\frac{D_k}{D}\)
\(D_k\) 表示 \(D\) 的第 \(k\) 行改成 \(方程组的常数\)
