2-SAT 问题

SAT 问题

• SAT: Satisfiability 满足

• 给出很多个包含多个命题的条件，给出命题的真假方案，使得所有条件成立

• 如：对于命题 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5…\) 使得 \(x_1∨¬x_2∨x_5\) 成立

2-SAT问题

• 每个条件包含两个命题的SAT问题

• 如：对于 \(x_1,x_2,x_3\) 使得 \(x_1∨x_3,¬x_2∨x_3\) 成立

• 转化：建图

• 用 \(x_i\) 表示 \(x_i=True\)，用 \(¬x_i\) 表示 \(x_i=False\)

• 用图论里的每一个点表示每一个命题，每一条边表示每两个命题间的推导关系

  • 推导关系：\(a→b⇔¬a∨b a,b∈True,False\)

  • 即：\(a∨b⇔¬a→b⇔¬b→a\)

  • 那么我们可以把每一个条件表示为图论中的边了

• 解的情况

• 无解：\(x_i→⋯→x_i∧¬x_i→…x_i\)

  • 即 \(x_i\) 和 \(¬x_i\) 在同一个强连通分量里，说明 \(x_i\)不管取真或假都是相反的，这就有问题了

• 有解：枚举所有 \(x_i\)，缩点找强连通分量，当 \(x_i\) 所在的强连通分量的拓扑排序在 \(¬x\) 所在的强连通分量的拓扑排序之后时，取 \(x\) 为 \(true\)

例题P4782 【模板】2-SAT 问题

#include<bits/stdc++.h>

#define rint register int
#define int long long
#define endl '\n'

using namespace std;

const int N = 2e6 + 5;
const int M = N;

int h[N],e[M],ne[M],idx,dfn[N],low[N],sk[N],ins[N],id[N],top,ts,n,m,cnt;

int inline min(int a,int b){
	return a<b?a:b;
}

void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void inline tarjan(int u){
    sk[++top]=u;ins[u]=1;
    dfn[u]=low[u]=++ts;
    for(rint i=h[u];~i;i=ne[i]){
        if(!dfn[e[i]]) {
            tarjan(e[i]);
            low[u]=min(low[e[i]],low[u]);
        }
        else if(ins[e[i]]){
            low[u]=min(dfn[e[i]],low[u]);
        }
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        int j;
        cnt++;
        do{
            j=sk[top--];
            id[j]=cnt;
            ins[j]=0;
        }
		while(j!=u);
    }
    return ;
}

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    while(m--){
        int i,a,j,b;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&i,&b,&j);
        a--;
		b--;
        add(2*a+!i,2*b+j);
        add(2*b+!j,2*a+i);
    }
    
    for(rint i=0;i<2*n;i++){
        if(!dfn[i]){
        	tarjan(i);
		}
    }
    
    for(rint i=0;i<n;i++){
        if(id[i*2]==id[i*2+1]){
            puts("IMPOSSIBLE");
            return 0;
        }
    }
	
	puts("POSSIBLE");
	
    for(rint i=0;i<n;i++){
        if(id[i*2]<id[i*2+1]){
            printf("0 ");
        }
        else{
        	printf("1 ");
		}
    }
    
    return 0;
}