2022.7.13 tongyf 讲课纪要

前言

这个笔记记晚了，主要是都在跟 $LCT$ 进行殊死搏斗，所以博客这方面就挂了很久。

tongyf 学长当年是拿到省一之后省选炸了，之后暴切高考。ORZ%%%

这节课讲的是线性dp和背包dp，也属于对牛弹琴了，，，比 thecold 学长讲的还离谱。那些初中生连dp是什么都不知道，上来就20min搞了4个绿题，更是一节课给他们讲了足足9绿8蓝1紫。我认为最经典的是这句话：

“你们应该会数据结构优化dp，单调队列优化dp，斜率优化这些比较常见的优化dp方式吧，这里我给你们讲一下二进制拆分”

正文

在这里就说一说比较经典的题吧

P1541 [NOIP2010 提高组] 乌龟棋

决策和当前每种牌打出了几张有关，所以状态内要记录每种牌打出了几张。不需要记录当前走了几格，因为走的格数可以由牌的打出情况推出来，而且保证牌全用完就刚好走到终点。

于是设 $f(a,b,c,d)$ 为第 $1/2/3/4$ 种牌打出了几张，转移就分类讨论打出了哪种牌。

以打出第一种牌为例，转移方程为：

$f(a,b,c,d)=f(a-1,b,c,d)+$ 第 $(a+2b+3c+4d)$ 格的分数

可以类比得出打出另外三种牌的转移方程

我当时是用记忆化切掉的，后来听学长讲完恍然大悟////

P2889 [USACO07NOV]Milking Time S

这道题 Bow 的评价是——这个初中生应该可以随便切，水蓝

设 $f(i)$ 为前 $i$ 小时最多挤出的牛奶

转移就枚举第 $i$ 小时结束的挤奶过程，注意要从挤奶过程开始时间减去休息时间转移过来，或者直接不挤奶，则有：

$$f(i)=max{f(i-1),f(begin-r)+Eff}$$

时间复杂度 $O(n^2)$

P4158 [SCOI2009]粉刷匠

设 $f(i,j,k,0/1/2)$ 为当前为第 $i$ 行第 $j$ 列，已经涂色 $k$ 次，当前格子未涂色/涂色正确/涂色错误的最大正确涂色格数

转移的话考虑前一个格子的颜色以及前一个格子是否填涂即可
如果当前格子涂色，前一个格子也涂色则k不增加，否则需要加一
详细的转移方程比较复杂，不过比较容易想，可以滚动数组优化掉第一维

这个方法好啊！！然后我是用 O(nm^2t) 的偏暴力的方法加 register,inline 小小优化一下卡过去了。。。。。。

P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭

先考虑没有第三个限制的情况，即设 $g(i,j)$ 为前 $i$ 行选了 $j$ 个的方案数，考虑第 $i$ 行选不选，则有转移方程

$$g(i,j)=g(i-1,j)+g(i-1,j-1)×s_i$$

$s_i$ 为第 $i$ 行 $a$ 的和，

这一步时间复杂度是 $O(n^2)$ 的

然后考虑每一列不大于一半的限制，为了容易处理，我们可以进行简单容斥转化为不考虑第三个限制的方案数-某一列大于一半的方案数（思路和上一题很像）

然后显然最多有一列大于一半，于是在计算非法方案的时候枚举第几列非法，这里设第 $x$ 列非法，设 $f(i,j,k)$ 为前 $i$ 行，第 $x$ 列选了 $j$ 个，其他列选了 $k$ 个的方案数，因为对于第 $x$ 列之外的列我们只需要考虑选了多少个，不需要考虑具体分布在哪一列

CF9D How many trees?

容易想到设 $f(i,j)$ 为 $i$ 个点的二叉树高度大于等于 $j$ 的有几个，但是难以转移，不妨设 $f(i,j$ )为 $i$ 个点的二叉树高度不大于 $j$ 的有几个
转移的时候考虑在第 $i$ 个点接上左右子树，显然两个子树高度都不大于 $j-1$，然后枚举左子树的点数，对于左子树有 $k$ 个点的情况根据乘法原理，总方案数就是

$$f(k,j-1)×f(i-k-1,j-1)$$

所以有：

$$f(i,j)=∑ f(k,j-1)×f(i-k-1,j-1),f(i,0)=0,f(0,i)=1$$

答案就是 $f(n,n)-f(n,h-1)$

SP283 NAPTIME - Naptime

先考虑时间不连续的情况，则设 $f(i,j,0/1)$ 为前 $i$ 个小时，已经睡了 $j$ 个小时，第 $i$ 个小时睡觉/不睡觉的最大体力恢复

然后考虑时间连续的情况，上述 DP 是无法包含每天第一天睡觉能回体力的情况的，于是只需要强制最后面小时休息，再进行一次 DP 即可

类似的环上的 DP ，都可以从断环成链的角度考虑

后续

讲完之后广大初中生反应听不懂。

Bow：“还听不懂啊，不应该啊”

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