二项式反演

二项式反演

设 $f(n)$ 表示 $n$ 个补集的交集大小，$g(n)$ 表示 $n$ 个原集的交集的大小。

$$f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i$$

$$f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i$$

$$f_k=\sum_{i=k}^n {i\choose k} g_i\Leftrightarrow g_k=\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} {i\choose k} f_i$$

这里证明就只证明一下二式吧

$$f(n)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i)$$

这个证明的话，就是直接带入法

将 $f$ 式子带入到 $g$ 的式子中，得到

$$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{n\choose i}\sum_{j=0}^{i}g(j){i\choose j}$$

我们将 $j$ 的枚举提前，这个是反演的基本操作

$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n\choose i}{i\choose j}$$

然后就直接把后面这个拆开

$${n\choose i}{i\choose j}=\frac{n!}{i!(n-i)!}×\frac{i!}{j!(i-j)!}$$

这个时候就直接把 $i!$ 消掉，再上下同时乘上 $(n-j)!$ 就直接变成了下面的等式

$${n\choose i}{i\choose j}={n\choose j}{n-j\choose n-i}$$

直接在原来的式子中替换它

$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n\choose j}{n-j\choose n-i}$$

那前面那个组合数已经和 $i$ 没有关系了，直接提出来

$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n-j\choose n-i}$$

我们就直接吧后面那个 $i$ 改一下从 $i=0$ 枚举到 $n-j$然后就直接用二项式定理

$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}g(j)\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{i}{n-j\choose i}$$

$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}{n\choose j}g(j)(-1+1)^{n-j}$$

后面的这个式子只有在 $n=j$ 的时候才成立，所以得证