Prufer 序列

1.Prufer是干啥的

把一个无根树变成一个序列，也可以把一个序列变成一个序列

2.性质

• 1.prufer序列与无根树一一对应

• 2.度数为 \(d_i\) 的结点会在 \(prufer\) 序列中出现 \(d_i-1\) 次。

• 3.一个 \(n\) 个结点的无向完全图的生成树的个数 \(n^{n-2}\)(Cayley公式)。

3.转化过程

把无根树变成序列

         6
        /
       5    
      / \
     4   2
    /
   3
  /
 1
 每次看度数=1的叶子节点中删除后总数变化最小的点
 删去1变化最小,输出删除1前1的父节点3
         6
        /
       5    
      / \
     4   2
    /
   3
 删去2变化最小，输出删除2前2的父节点5
         6
        /
       5    
      / 
     4  
    /
   3 
 删去3变化最小，输出4
         6
        /
       5    
      / 
     4  
 删去4变化最小，输出5
         6
        /
       5   
 剩下两个点后，一定删除非最大的数，最后剩下的一个点一定是输出最大的n号点 6
         6
        /
       5    

4.原理

从小到大枚举 \(j\) (编号最小的度数\(=1\)的叶子节点)，把 \(j\) 删掉后最多产生一个新的叶子节点

• 情况1:删叶子节点后,新多出来的点k比j大,不用管,j会从小到大枚举,迟早会枚举到这个点k

• 情况2:删叶子节点后,新多出来的点比j小,说明k就是当前最小叶子节点

代码实现

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long
#define rint register int

#define endl '\n'

using namespace std;

const int N = 5e6 + 5;

int n,m,f[N],d[N],p[N];

int inline tree2prufer(){
    for(rint i=1;i<n;i++) cin>>f[i],d[f[i]]++;
    for(rint i=1,j=1;i<n-1;j++){
        while(d[j]){
			j++;
		}
        p[i++]=f[j];
        while(i<n-1&&--d[p[i-1]]==0&&p[i-1]<j){
			p[i++]=f[p[i-1]];
		}
    }
    int ans=0;
    for(rint i=1;i<n-1;i++) 
	    ans=ans^(1ll*i*p[i]);
    return ans;
}

int inline prufer2tree(){
    for(rint i=1;i<=n-2;i++) cin>>p[i],d[p[i]]++;
    p[n-1]=n;
    for(rint i=1,j=1;i<n;i++,j++){
        while(d[j]){
			j++;
		}
        f[j]=p[i];
        while(i<n-1&&--d[p[i]]==0&&p[i]<j){
			f[p[i]]=p[i+1];
			i++;
		}
    }
    int ans=0;
    for(rint i=1;i<=n-1;i++)
		ans=ans^(1ll*i*f[i]);
    return ans;
}

signed main(){
    cin>>n>>m;
    int res;
    if(m==1)
	    res=tree2prufer();
    else 
	    res=prufer2tree();
	cout<<res<<endl;
    return 0;
}