笛卡尔树

定义

笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top k查询（range top k queries）等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。笛卡尔树结构由Vuillmin(1980)在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出。从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。

性质

无相同元素的数列构造出的笛卡尔树具有下列性质：

1.结点一一对应于数列元素。即数列中的每个元素都对应于树中某个唯一结点，树结点也对应于数列中的某个唯一元素

2.中序遍历（in-order traverse）笛卡尔树即可得到原数列。即任意树结点的左子树结点所对应的数列元素下标比该结点所对应元素的下标小，右子树结点所对应数列元素下标比该结点所对应元素下标大。

3.树结构存在堆序性质，即任意树结点所对应数值大/小于其左、右子树内任意结点对应数值

根据堆序性质，笛卡尔树根结点为数列中的最大/小值，树本身也可以通过这一性质递归地定义：根结点为序列的最大/小值，左、右子树则对应于左右两个子序列，其结点同样为两个子序列的最大/小值。因此，上述三条性质唯一地定义了笛卡尔树。若数列中存在重复值，则可用其它排序原则为数列中相同元素排定序列，例如以下标较小的数为较小，便能为含重复值的数列构造笛卡尔树。

应用

范围最值查询与最低公共祖先
笛卡尔树可以有效地处理范围最值查询（range minimum queries），通过将定义在数列上的RMQ问题转化为定义在树结构上的最低公共祖先（lowest common ancestor）问题。数列以线性时间构造出笛卡尔树，笛卡尔树则能以常数时间处理最低公共祖先查询，因此在线性时间的预处理后，范围最值查询能以常数时间完成。
Bender & Farach-Colton (2000)则提出了RMQ与LCA问题的新联系，他们通过不基于树的算法处理RMQ问题从而有效地解决LCA问题。其使用欧拉路径的技巧将树结构转化为数列，此数列具有特定性质（相邻数值代表树中的相邻顶点，即在树中高度差为1的顶点），利用这一性质RMQ问题可以很高效地得到解决。通常的数列则不具备此性质，为了将一般的数列转化为具有上述性质的数列，需要应用到笛卡尔树，具体过程为在普通数列上构造笛卡尔树，在笛卡尔树上使用欧拉路径转化的方法将树转化为具有上述性质的新数列。

区分，二叉树

笛卡尔树是二叉树，对于数列而言将其作为二叉搜索树是自然的。若将二叉搜索树结点关联上一个权值，并且保证此权值在树结构中遵循堆中的序关系，即父结点权值比子结点权值大，则此二叉搜索树又被称为Treap. 其名称来源于树与堆两英文词的组合（tree + heap -> treap）。Treap与笛卡尔树在结构上是相同的，只是两者的应用不同。

构建

int st[N], ls[N], rs[N], n, A[N];// ls代表笛卡尔树每个节点的左孩子，rs代表笛卡尔树每个节点的右孩子
int top = 0;

for (int i = 1; i <= n; ++i) 
{
    while (top && A[st[top]] > A[i]) ls[i] = st[top--]; //栈顶元素为当前元素的左孩子
    if (top) rs[st[top]] = i; //当前元素为栈顶元素的右孩子
    st[++top] = i;
}