线段树

什么是线段树

线段树，是一种 二叉搜索树 。它将一段区间划分为若干 单位区间 ，每一个节点都储存着一个区间。它 功能强大 ，支持区间求和，区间最大值，区间修改，单点修改等操作。
线段树的思想和分治思想很相像。

线段树的每一个节点都储存着一段区间 $[L..R]$ 的信息，其中 叶子节点 $L=R$ 。它的大致思想是：将一段大区间平均地划分成 $2$ 个小区间，每一个小区间都再平均分成 $2$ 个更小区间……以此类推，直到每一个区间的 $L$ 等于 $R$（这样这个区间仅包含一个节点的信息，无法被划分）。通过对这些区间进行修改、查询，来实现对大区间的修改、查询。
这样一来，每一次单点修改、单点查询的时间复杂度都只为 $O(\log_2n)$。

但是，可以用线段树维护的问题必须满足 区间加法 ，否则是不可能将大问题划分成子问题来解决的。

什么是区间加法

一个问题满足区间加法，仅当对于区间 $[L,R]$ 的问题的答案可以由 $[L,M]$ 和 $[M+1,R]$ 的答案合并得到。

经典的区间加法问题有：
1.区间求和 $(\sum_{i=L}^Ra_i=\sum_{i=L}^Ma_i+\sum_{i=M+1}^Ra_i\quad$，$L\leq M<R)$
2.区间最大值 $(\max_{i=L}^Ra_i=\max(\max_{i=L}^Ma_i,\max_{i=M+1}^Ra_i)\quad ,L\leq M<R)$

不满足区间加法的问题有：
1.区间的众数；
2.区间的最长不下降子序列。

线段树的原理及实现

注意：如果我没有特别申明的话，这里的询问全部都是区间求和

线段树主要是把一段大区间 平均地划分 成两段小区间进行维护，再用小区间的值来更新大区间。这样既能保证正确性，又能使时间保持在 $log$ 级别（因为这棵线段树是平衡的）。也就是说，一个 $[L,R]$ 的区间会被划分成 $[L,(L+R)/2]$ 和 $[(L+R)/2-1,R]$ 这两个小区间进行维护，直到 $L=R$。

下图就是一棵 $[1,10]$ 的线段树的分解过程（相同颜色的节点在同一层）

可以发现，这棵线段树的最大深度不超过 $log_2(n-1)+2$ 。

储存方式

通常用的都是 堆式储存法 ，即编号为 $k$ 的节点的左儿子编号为 $2k$ ，右儿子编号为 $2k+1$ ，父节点编号为 [$\frac{k}{2}$]，用 位运算 优化一下，以上的节点编号就变成了 k<<1 , k<<1|1 , k>>1 。
通常，每一个线段树上的节点储存的都是这几个变量：区间左边界，区间右边界，区间的答案（这里为区间元素之和）
注意：线段树的大小其实是 $5n$ 左右的。
下面是线段树的定义：

struct node
{
	int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
	node(){l=r=sum=lazy=0;}//给每一个元素赋初值
}a[N];//N为总节点数
inline void update(int k)//更新节点k的sum
{
	a[k].sum=a[k*2].sum+a[k*2+1].sum;
	//很显然，一段区间的元素和等于它的子区间的元素和
	//如果有懒惰标记的话要相应地改变（记得加上懒惰标记的值！！！）
}

初始化

常见的做法是遍历整棵线段树，给每一个节点赋值，注意要递归到线段树的叶节点才结束。

void build(int k/*当前节点的编号*/,int l/*当前区间的左边界*/,int r/*当前区间的右边界*/)
{
	a[k].l=l,a[k].r=r;
	if(l==r)//递归到叶节点
	{
		a[k].sum=number[l];//其中number数组为给定的初值
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;//计算左右子节点的边界
	build(k*2,l,mid);//递归到左儿子
	build(k*2+1,mid+1,r);//递归到右儿子
	update(k);//记得要用左右子区间的值更新该区间的值
}

单点修改

当我们要把下标为 $k$ 的数字修改（加减乘除、赋值运算等）时，可以直接在根节点往下 DFS。

void change(int k/*当前节点的编号*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
	if(a[k].l==a[k].r){a[k].sum=y;return;}
	//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
	//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
	int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
	if(x<=mid) change(k*2,x,y);//递归到左儿子
	else change(k*2+1,x,y);//递归到右儿子
	update(k);//记得更新点k的值，感谢qq_36228735提出此错误
}

区间修改

其实如果会了 单点修改 的话，区间修改就不会太难理解了。
区间修改大体可以分为两步：

1.找到区间中全部都是要修改的点的线段树中的区间；
2.修改这一段区间的所有点。

先来解决第一步：
我们先从根节点出发（根节点一定包含所有的点，包括被修改区间），一直往下走，直到当前区间中的元素全部都是被修改元素。
当左区间包含整个被修改区间时，我们就递归到左区间；
当右区间包含整个被修改区间时，我们就递归到右区间；
否则，情况一定就如下图所示：

怎么办？这种情况似乎有些难了。
不过，通过思考，我们可以发现，被修改区间中的元素间，两两之间都不会产生影响。
所以，我们可以把被修改区间分解成两段，使得其中的一段完全在左区间，另一端完全在右区间。
很明显，直接在 $mid$ 的位置将该区间切开是最好的。如下图所示：

通过一系列的操作，我们成功地把修改区间分解成一段一段的。但问题来了：我们怎样修改这些区间呢？
最暴力的做法是每一次都像建树一样，遍历区间内的所有节点，一一修改。但是这样的时间复杂度显然比暴力还多了个 $4~5$ 的常数，我要这线段树有何用？
这里就要引入一样新的神奇的东西——懒惰标记！

懒惰标记

标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么（区间求和只用记录有没有被访问过，而区间加减乘除等多种操作的问题则要记录进行的是哪一种操作）。
这里再引入两个很重要的东西： 相对标记 和 绝对标记 。

相对标记和绝对标记

相对标记指的是可以共存的标记，且打标记的顺序与答案无关，即标记可以叠加。 比如说给一段区间中的所有数字都 $+a$ ，我们就可以把标记叠加一下，比如上一次打了一个 $+1$ 的标记，这一次要给这一段区间 $+5$ ，那么就把 $+1$ 的标记变成 $+6$。
绝对标记是指不可以共存的标记，每一次都要先把标记下传，再给当前节点打上新的标记。这些标记不能改变次序，否则会出错。 比如说给一段区间的数字重新赋值，或是给一段区间进行多种操作。

有了 懒惰标记 这种神奇的东西，我们区间修改时就可以偷一下懒，先修改当前节点，然后直接把信息挂在节点上就可以了！
如下面这棵线段树，当我们要修改区间 $[1,4]$,，将元素赋值为 $1$ 时，我们可以先找到所有的整个区间都要被修改的节点，显然是储存区间 $[1,3]$ 和 $[4,4]$ 的这两个节点。我们就可以先把 $[1,3]$ 的 $sum$ 改为 $(3-1+1)*1=3$ ，把 $[4,4]$ 的 $sum$ 改为 $(1-1+1)*1=1$ ,然后给它们打上值为 1 的懒惰标记，然后就可以了。

这样一来，我们每一次修改区间时只要找到目标区间就可以了，不用再向下递归到叶节点。
下面是区间 +x 的代码：

void changeSegment(int k,int l,int r,int x)
//当前到了编号为k的节点，要把[l..r]区间中的所有元素的值+x
{
	if(a[k].l==l&&a[k].r==r)//如果找到了全部元素都要被修改的区间
	{
		a[k].sum+=(r-l+1)*x;
		//更新该区间的sum
		a[k].lazy+=x;return;
		//懒惰标记叠加
	}
	int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
	if(r<=mid) changeSegment(k*2,l,r,x);
	//如果被修改区间完全在左区间
	else if(l>mid) changeSegment(k*2+1,l,r,x);
	//如果被修改区间完全在右区间
	else changeSegment(k*2,l,mid,x),changeSegment(k*2+1,mid+1,r,x);
	//如果都不在，就要把修改区间分解成两块，分别往左右区间递归
	update(k);
	//记得更新点k的值
}

请注意：某些题目的懒惰标记属于 绝对标记 （如维护区间 平方和 ），一定要先 下传标记 ，再向下递归。

下传标记

碰到 相对标记 这种容易欺负的小朋友，我们只用打一下懒惰标记就可以了。
但是，遇到 绝对标记 ，或是下文提到的 区间查询 ，简单地打上懒惰标记就明显 GG 了。毕竟， 懒惰标记 只是简单地在节点挂上一个信息而已，遇到复杂的情况可是不行的啊！
于是，懒惰标记的 下传操作 就诞生了。
顾名思义， 下传标记 就是把一个节点的懒惰标记传给它的左右儿子，再把该节点的懒惰标记删去。
我们先来回顾一下标记的含义：

标记的含义：本区间已经被更新过了，但是子区间却没有被更新过，被更新的信息是什么。

显然，父区间是包含子区间的，也就是对于父区间的标记和子区间是有联系的。在大多数情况下，父区间和子区间的标记是 相同的 。因此，我们可以由父区间的标记推算出子区间应当是什么标记。
注意：以下所说的问题都是指区间赋值，除非有什么特别的申明。
如果要给一个节点中的所有元素重新赋值为 $x$，那么它的儿子也必定要被赋值成 $x$。所以，我们直接在子节点处修改 $sum$ 值，再把子节点的标记改变一下就可以了（由于区间赋值要用 绝对标记 ，因此当子节点已经有标记时，要先下传子节点的标记，再下传该节点的标记。但是区间赋值会覆盖掉子节点的值，因此在这个问题中，直接修改标记就可以了）
下传区间 $+x$ 标记的代码如下：

void pushdown(int k)//将点k的懒惰标记下传
{
	if(a[k].l==a[k].r){a[k].lazy=0;return;}
	//如果节点k已经是叶节点了，没有子节点，那么标记就不用下传，直接删除就可以了
	a[k*2].sum+=(a[k*2].r-a[k*2].l+1)*a[k].lazy;
	a[k*2+1].sum+=(a[k*2+1].r-a[k*2+1].l+1)*a[k].lazy;
	//给k的子节点重新赋值
	a[k*2].lazy+=a[k].lazy;
	a[k*2+1].lazy+=a[k].lazy;
	//下传点k的标记
	a[k].lazy=0;//记得清空点k的标记
}

那么区间赋值就很容易解决了。我们直接修改当前节点的 s u m sumsum ，再打上标记就可以了。在大多数问题中，我们要先下传当前节点的标记，再打上标记。但由于这个问题的特殊性，我们就不用先下传标记了。

区间查询

上面我们很轻松地解决了修改的问题，于是我们就维护了一个完整的在线线段树了。但是光有维护是没用的，我们还要处理询问的问题。最常见的莫过于区间查询了，如询问区间 $[l..r]$ 中所有数的和。
这其实和 区间修改 是类似的。我们也分类讨论：

1.当查找区间在当前区间的左子区间时，递归到左子区间；
2.当查找区间在当前区间的右子区间时，递归到右子区间；

否则，这个区间一定是跨越两个子区间的，我们就把它切成 $2$ 块，分在两个子区间查询。最后把答案合起来处理就可以了（如查询区间和时就把两块区间的和加起来，查询最大值时就返回两个区间的最大值的最大值）
最后强调一个细节： 记得在查询之前下传标记！！！
下面是查询区间和的代码：

int query(int k,int l,int r)
//当前到了编号为k的节点，查询[l..r]的和
{
	if(a[k].lazy) pushdown(k);
	//如果当前节点被打上了懒惰标记，那么就把这个标记下传，这一句其实也可以放在下一语句的后面
	if(a[k].l==l&&a[k].r==r) return a[k].sum;
	//如果当前区间就是询问区间，完全重合，那么显然可以直接返回
	int mid=(a[k].l+a[k].r)/2;
	if(r<=mid) return query(k*2,l,r);
	//如果询问区间包含在左子区间中
	if(l>mid) return query(k*2+1,l,r);
	//如果询问区间包含在右子区间中
	return query(k*2,l,mid)+query(k*2+1,mid+1,r);
	//如果询问区间跨越两个子区间
}

指针储存和动态开点

上面我们用的都是 堆式储存法 。这种方法能快速地找出当前节点的父节点、子节点，但节点数很多，而无用节点也较多时就没有用了。我们可以用 指针储存和动态开点 解决这个问题。当然，也可以用 离散化 解决问题。
这其实就是用指针额外记录当前节点的子节点（有时可能还要记录父节点），且要用到节点时才新建节点。这样能大大地节省空间。
下面是结构体的定义：

struct node
{
	int l/*区间左边界*/,r/*区间右边界*/,sum/*区间元素之和*/,lazy/*懒惰标记，下文会提到*/;
	node *lson/*左儿子*/,*rson/*右儿子*/;
	//这两个指针初始值为NULL，当儿子指针为NULL时表明它没有值
	node(){l=r=sum=lazy=0;lson=rson=NULL;}//给每一个元素赋初值
};
node *root=new node;//根节点
inline void setroot()//根节点初始化
{
	root->l=1,root->r=n;
}
inline void update(node *k)//更新节点k的sum
{
	k->sum=0;
	if(k->lson) k.sum+=k->lson->sum;
	if(k->rson) k.sum+=k->rson->sum;
	//注意要判断左右子节点是否存在
}

单点修改：

void change(node *k/*当前节点*/,int x/*要修改节点的编号*/,int y/*要把编号为x的数字修改成y*/)
{
	if(k->l==k->r){k->sum=y;return;}
	//如果当前区间只包含一个元素，那么该元素一定就是我们要修改的。
	//由于该区间的sum一定等于编号为x的数字，所以直接修改sum就可以了。
	int mid=(k->l+k->r)/2;//计算下一层子区间的左右边界
	if(x<=mid)
	{
		if(!k->lson)//如果左儿子不存在，就新建一个
		{
			k->lson=new node;
			k->lson->l=k->l;
			k->lson->r=mid;
		}
		change(k->lson,x,y);//递归到左儿子
	}
	else
	{
		if(!k->rson)//如果右儿子不存在，就新建一个
		{
			k->rson=new node;
			k->rson->l=mid+1;
			k->rson->r=k->r;
		}
		change(k->rson,x,y);//递归到右儿子
	}
}

询问操作并 不用 新建节点!!!!