广度优先搜索— —提高Ⅰ
概念
广度优先搜索算法（Breadth-First Search，BFS）是一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。BFS并不使用经验法则算法。
泛洪算法Flood Fill
泛洪算法图形处理中的一个填充算法，我们可以设想这样一个场景，windows的画图软件中的油漆桶为一个形状着色，该形状的范围内都将被着色，我们所使用的算法就是从一个像素点出发，以此向周边的像素点扩充着色，直到图形的边界。这个场景我们使用的算法就是flood fill(泛洪算法)。
泛洪算法有3中不同的方式，每种算法有两种形式一种是递归的一种是非递归的。一般来说对于递归的算法我们比较容易实现，但是若所需处理的对象非常大，递归算法非常消耗内存。下面我们将介绍这几种算法：
(1)四邻域泛洪算法
四邻域泛洪算法的思想是对于像素点(x,y)，将其着色之后将其周围的上下左右四个点分别进行着色。其递归方式为：
void floodFill4(int x, int y, int newColor, int oldColor)
{
if(x >= 0 && x < w && y >= 0 && y < h && screenBuffer[y][x][y] == oldColor && screenBuffer[x] != newColor)
{
screenBuffer[y][x] = newColor;
floodFill4(x + 1, y , newColor, oldColor);
floodFill4(x - 1, y , newColor, oldColor);
floodFill4(x , y + 1, newColor, oldColor);
floodFill4(x , y - 1, newColor, oldColor);
}
}
递归方式非常消耗内存，若所需着色的面积非常大，会导致溢出现象。因此，下面我们将介绍四邻域泛洪算法的非递归方式。这里我们使用一个栈来存储未被着色的点，然后依次将存在于着色空间内的点的上下左右的点加入栈，依次着色直到栈为空。
void floodFill4Stack(int x, int y, int newColor, int oldColor)
{
if(newColor == oldColor) return; //avoid infinite loop
emptyStack();
static const int dx[4] = {0, 1, 0, -1};
static const int dy[4] = {-1, 0, 1, 0};
if(!push(x, y)) return;
while(pop(x, y))
{
screenBuffer[y][x] = newColor;
for(int i = 0; i < 4; i++) {
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
if(nx > 0 && nx < w && ny > 0 && ny < h && screenBuffer[ny][nx] == oldColor) {
if(!push(nx, ny)) return;
}
}
}
}
(2)八邻域泛洪算法
八邻域算法是将一个像素点的上下左右，左上，左下，右上，右下都进行着色。该算法的递归方式为：
void floodFill8(int x, int y, int newColor, int oldColor)
{
if(x >= 0 && x < w && y >= 0 && y < h && screenBuffer[y][x][y] == oldColor && screenBuffer[x] != newColor)
{
screenBuffer[y][x] = newColor;
floodFill8(x + 1, y , newColor, oldColor);
floodFill8(x - 1, y , newColor, oldColor);
floodFill8(x , y + 1, newColor, oldColor);
floodFill8(x , y - 1, newColor, oldColor);
floodFill8(x + 1, y + 1, newColor, oldColor);
floodFill8(x - 1, y - 1, newColor, oldColor);
floodFill8(x - 1, y + 1, newColor, oldColor);
floodFill8(x + 1, y - 1, newColor, oldColor);
}
}
非递归方式为：
void floodFill8Stack(int x, int y, int newColor, int oldColor)
{
if(newColor == oldColor) return; //avoid infinite loop
emptyStack();
static const int dx[8] = {0, 1, 1, 1, 0, -1, -1, -1};
static const int dy[8] = {-1, -1, 0, 1, 1, 1, 0, -1};
if(!push(x, y)) return;
while(pop(x, y))
{
screenBuffer[y][x] = newColor;
for(int i = 0; i < 8; i++) {
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
if(nx > 0 && nx < w && ny > 0 && ny < h && screenBuffer[ny][nx] == oldColor) {
if(!push(nx, ny)) return;
}
}
}
}
(3)扫描线算法
该算法的过程是：先将一条线上的像素点进行着色，然后依次向上下扩张，直到着色完成。该算法的递归方式为：
void floodFillScanline(int x, int y, int newColor, int oldColor){
if(newColor==oldColor) return;
if(screen[x][y]!=oldColor) return;
int x1=x;
while(x1<w&&screen[x1][y]==oldColor){
screen[x1][y]=newColor;
x1++;
}
x1=x-1;
while(x1>=0&&screen[x1][y]==oldColor){
screen[x1][y]=newColor;
x1--;
}
x1=x;
while(x1<w&&screen[x1][y]==newColor){
if(y<h-1&&screen[x1][y+1]==oldColor) floodFillScanline(x1,y+1,newColor,oldColor);
x1++;
}
x1=x-1;
while(x1>0&&screen[x1][y]==newColor){
if(y>0&&screen[x1][y+1]==oldColor) floodFillScanline(x1,y+1,newColor,oldColor);
x1--;
}
x1=x;
while(x1<w&&screen[x1][y]==newColor){
if(y<h-1&&screen[x1][y-1]==oldColor) floodFillScanline(x1,y+1,newColor,oldColor);
x1++;
}
x1=x-1;
while(x1>0&&screen[x1][y]==newColor){
if(y>0&&screen[x1][y-1]==oldColor) floodFillScanline(x1,y+1,newColor,oldColor);
x1--;
}
}
该算法的非递归方式为：
void floodFillScanline(int x, int y, int newColor, int oldColor){
if(newColor==oldColor) return;
if(screen[x][y]!=oldColor) return;
emptyStack();
int x1;
bool spanAbove, spanBelow;
if(!push(x,y)) return;
while(pop(x,y)){
x1=x;
while(x1>0&&screen[x1][y]==oldColor) x1--;
x1++;
spanAbove = spanBelow = 0;
while(x1<w&&screen[x1][y]==oldColor){
screen[x1][y]=newColor;
if(!spanAbove&&y>0&&screen[x1][y-1]==oldColor){
if(!push(x1,y-1)) return;
spanAbove=1;
}
else if(spanAbove&&y>0&&screen[x1][y-1]!=oldColor){
spanAbove=1;
}
if(!spanBelow&&y<h-1&&screen[x1][y+1]==oldColor){
if(!push(x1,y+1)) return;
spanBelow=1;
}
else if(spanBelow&&y<h-1&&screen[x1][y+1]!=oldColor){
spanBelow=1;
}
x1++;
}
}
}
上述模板可以当真，但只供思路参考，考试背这个直接完犊子，我们还是要看实战！！！
第一题由于特殊原因，只能在这里放链接了。
池塘计数
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010, M = N * N;
int n, m;
char g[N][N];
PII q[M];
bool st[N][N];
void bfs(int sx, int sy)
{
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
while (hh <= tt)
{
PII t = q[hh ++ ];
for (int i = t.x - 1; i <= t.x + 1; i ++ )
for (int j = t.y - 1; j <= t.y + 1; j ++ )
{
if (i == t.x && j == t.y) continue;
if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= m) continue;
if (g[i][j] == '.' || st[i][j]) continue;
q[ ++ tt] = {i, j};
st[i][j] = true;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%s", g[i]);
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (g[i][j] == 'W' && !st[i][j])
{
bfs(i, j);
cnt ++ ;
}
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
（此题图像已废掉，自行理解。。。）
1 2 3 4 5 6 7
#############################
1 # | # | # | | #
#####---#####---#---#####---#
2 # # | # # # # #
#---#####---#####---#####---#
3 # | | # # # # #
#---#########---#####---#---#
4 # # | | | | # #
#############################
# = Wall
| = No wall
- = No wall
方向：上北下南左西右东。
图1是一个城堡的地形图。
请你编写一个程序，计算城堡一共有多少房间，最大的房间有多大。
城堡被分割成 m∗n个方格区域，每个方格区域可以有0~4面墙。
注意：墙体厚度忽略不计。
输入格式
第一行包含两个整数 m 和 n，分别表示城堡南北方向的长度和东西方向的长度。
接下来 m 行，每行包含 n 个整数，每个整数都表示平面图对应位置的方块的墙的特征。
每个方块中墙的特征由数字 P 来描述，我们用1表示西墙，2表示北墙，4表示东墙，8表示南墙，P 为该方块包含墙的数字之和。
例如，如果一个方块的 P 为3，则 3 = 1 + 2，该方块包含西墙和北墙。
城堡的内墙被计算两次，方块(1,1)的南墙同时也是方块(2,1)的北墙。
输入的数据保证城堡至少有两个房间。
输出格式
共两行，第一行输出房间总数，第二行输出最大房间的面积（方块数）。
数据范围
1≤m,n≤50,
0≤P≤15
输入样例：
4 7
11 6 11 6 3 10 6
7 9 6 13 5 15 5
1 10 12 7 13 7 5
13 11 10 8 10 12 13
输出样例：
5
9
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 55, M = N * N;
int n, m;
int g[N][N];
PII q[M];
bool st[N][N];
int bfs(int sx, int sy)
{
int dx[4] = {0, -1, 0, 1}, dy[4] = {-1, 0, 1, 0};
int hh = 0, tt = 0;
int area = 0;
q[0] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
while (hh <= tt)
{
PII t = q[hh ++ ];
area ++ ;
for (int i = 0; i < 4; i ++ )
{
int a = t.x + dx[i], b = t.y + dy[i];
if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
if (st[a][b]) continue;
if (g[t.x][t.y] >> i & 1) continue;
q[ ++ tt] = {a, b};
st[a][b] = true;
}
}
return area;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
cin >> g[i][j];
int cnt = 0, area = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (!st[i][j])
{
area = max(area, bfs(i, j));
cnt ++ ;
}
cout << cnt << endl;
cout << area << endl;
return 0;
}
FGD小朋友特别喜欢爬山，在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。
为了能够对旅程有一个安排，他想知道山峰和山谷的数量。
给定一个地图，为FGD想要旅行的区域，地图被分为 n×n 的网格，每个格子 (i,j) 的高度 w(i,j) 是给定的。
若两个格子有公共顶点，那么它们就是相邻的格子，如与 (i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1),(i−1,j),(i−1,j+1),(i,j−1),(i,j+1),(i+1,j−1),(i+1,j),(i+1,j+1)。
我们定义一个格子的集合 S 为山峰（山谷）当且仅当：
S 的所有格子都有相同的高度。
S 的所有格子都连通。
对于 s 属于 S，与 s 相邻的 s′ 不属于 S，都有 ws>ws′（山峰），或者 ws<ws′（山谷）。
如果周围不存在相邻区域，则同时将其视为山峰和山谷。
你的任务是，对于给定的地图，求出山峰和山谷的数量，如果所有格子都有相同的高度，那么整个地图即是山峰，又是山谷。
输入格式
第一行包含一个正整数 n，表示地图的大小。
接下来一个 n×n 的矩阵，表示地图上每个格子的高度 w。
输出格式
共一行，包含两个整数，表示山峰和山谷的数量。
数据范围
1≤n≤1000,
0≤w≤109
输入样例1：
5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8
输出样例1：
2 1
输入样例2：
5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7
输出样例2：
3 3
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010, M = N * N;
int n;
int h[N][N];
PII q[M];
bool st[N][N];
void bfs(int sx, int sy, bool& has_higher, bool& has_lower)
{
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
while (hh <= tt)
{
PII t = q[hh ++ ];
for (int i = t.x - 1; i <= t.x + 1; i ++ )
for (int j = t.y - 1; j <= t.y + 1; j ++ )
{
if (i == t.x && j == t.y) continue;
if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) continue;
if (h[i][j] != h[t.x][t.y]) // 山脉的边界
{
if (h[i][j] > h[t.x][t.y]) has_higher = true;
else has_lower = true;
}
else if (!st[i][j])
{
q[ ++ tt] = {i, j};
st[i][j] = true;
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
scanf("%d", &h[i][j]);
int peak = 0, valley = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
if (!st[i][j])
{
bool has_higher = false, has_lower = false;
bfs(i, j, has_higher, has_lower);
if (!has_higher) peak ++ ;
if (!has_lower) valley ++ ;
}
printf("%d %d\n", peak, valley);
return 0;
}
BFS解决最短路问题
由于BFS的逐层访问的性质，即从起点由近及远的访问，因此BFS算法常用于寻找最短路径。当然，只适合于解决一些比较简单的问题。
模板
BFS函数：
const int maxn = 10000;
int pre[maxn]; //pre[i]表示i的前一个结点（用于存储路径）
bool inq[maxn]; //是否入过队
vector<int> adj[maxn]; //邻接表
void bfs(int s, int des) { //起点、终点
queue<int> q;
q.push(s);
inq[s] = 1;
while (!q.empty()) {
int now = q.front(); q.pop();
if (now == des) return;
for (int i = 0; i < adj[now].size(); i++) {
if (inq[adj[now][i]] == 0) {
q.push(adj[now][i]);
pre[adj[now][i]] = now;
inq[adj[now][i]] = 1;
}
}
}
}
输出最短路径，可以用递归和非递归实现，由于递归算法可能爆栈，这里采用非递归：
vector<int> path;
int u=des;
while (1) {
path.push_back(u);
if (u == s) break;
u = pre[u];
}
//执行完之后，path按终点到起点存放
//因此输出时需要逆向输出
实战演练！！！
给定一个 n×n 的二维数组，如下所示：
int maze[5][5] = {
0, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 1, 0,
0, 0, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 1, 0,
0, 0, 0, 1, 0,
};
它表示一个迷宫，其中的1表示墙壁，0表示可以走的路，只能横着走或竖着走，不能斜着走，要求编程序找出从左上角到右下角的最短路线。
数据保证至少存在一条从左上角走到右下角的路径。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n 个整数 0 或 1，表示迷宫。
输出格式
输出从左上角到右下角的最短路线，如果答案不唯一，输出任意一条路径均可。
按顺序，每行输出一个路径中经过的单元格的坐标，左上角坐标为 (0,0)，右下角坐标为 (n−1,n−1)。
数据范围
0≤n≤1000
输入样例：
5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0
输出样例：
0 0
1 0
2 0
2 1
2 2
2 3
2 4
3 4
4 4
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010, M = N * N;
int n;
int g[N][N];
PII q[M];
PII pre[N][N];
void bfs(int sx, int sy)
{
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = {sx, sy};
memset(pre, -1, sizeof pre);
pre[sx][sy] = {0, 0};
while (hh <= tt)
{
PII t = q[hh ++ ];
for (int i = 0; i < 4; i ++ )
{
int a = t.x + dx[i], b = t.y + dy[i];
if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= n) continue;
if (g[a][b]) continue;
if (pre[a][b].x != -1) continue;
q[ ++ tt] = {a, b};
pre[a][b] = t;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
scanf("%d", &g[i][j]);
bfs(n - 1, n - 1);
PII end(0, 0);
while (true)
{
printf("%d %d\n", end.x, end.y);
if (end.x == n - 1 && end.y == n - 1) break;
end = pre[end.x][end.y];
}
return 0;
}
农民 John 有很多牛，他想交易其中一头被 Don 称为 The Knight 的牛。
这头牛有一个独一无二的超能力，在农场里像 Knight 一样地跳（就是我们熟悉的象棋中马的走法）。
虽然这头神奇的牛不能跳到树上和石头上，但是它可以在牧场上随意跳，我们把牧场用一个 x，y 的坐标图来表示。
这头神奇的牛像其它牛一样喜欢吃草，给你一张地图，上面标注了 The Knight 的开始位置，树、灌木、石头以及其它障碍的位置，除此之外还有一捆草。
现在你的任务是，确定 The Knight 要想吃到草，至少需要跳多少次。
The Knight 的位置用 K 来标记，障碍的位置用 * 来标记，草的位置用 H 来标记。
这里有一个地图的例子：
11 | . . . . . . . . . .
10 | . . . . * . . . . .
9 | . . . . . . . . . .
8 | . . . * . * . . . .
7 | . . . . . . . * . .
6 | . . * . . * . . . H
5 | * . . . . . . . . .
4 | . . . * . . . * . .
3 | . K . . . . . . . .
2 | . . . * . . . . . *
1 | . . * . . . . * . .
0 ----------------------
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
The Knight 可以按照下图中的 A,B,C,D… 这条路径用 5 次跳到草的地方（有可能其它路线的长度也是 5）：
11 | . . . . . . . . . .
10 | . . . . * . . . . .
9 | . . . . . . . . . .
8 | . . . * . * . . . .
7 | . . . . . . . * . .
6 | . . * . . * . . . F<
5 | * . B . . . . . . .
4 | . . . * C . . * E .
3 | .>A . . . . D . . .
2 | . . . * . . . . . *
1 | . . * . . . . * . .
0 ----------------------
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
注意： 数据保证一定有解。
输入格式
第 1 行： 两个数，表示农场的列数 C 和行数 R。
第 2..R+1 行: 每行一个由 C 个字符组成的字符串，共同描绘出牧场地图。
输出格式
一个整数，表示跳跃的最小次数。
数据范围
1≤R,C≤150
输入样例：
10 11
..........
....*.....
..........
...*.*....
.......*..
..*..*...H
*.........
...*...*..
.K........
...*.....*
..*....*..
输出样例：
5
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 155, M = N * N;
int n, m;
char g[N][N];
PII q[M];
int dist[N][N];
int bfs()
{
int dx[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
int dy[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int sx, sy;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (g[i][j] == 'K')
sx = i, sy = j;
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = {sx, sy};
memset(dist, -1, sizeof dist);
dist[sx][sy] = 0;
while (hh <= tt)
{
auto t = q[hh ++ ];
for (int i = 0; i < 8; i ++ )
{
int a = t.x + dx[i], b = t.y + dy[i];
if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
if (g[a][b] == '*') continue;
if (dist[a][b] != -1) continue;
if (g[a][b] == 'H') return dist[t.x][t.y] + 1;
dist[a][b] = dist[t.x][t.y] + 1;
q[ ++ tt] = {a, b};
}
}
return -1;
}
int main()
{
cin >> m >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];
cout << bfs() << endl;
return 0;
}
农夫知道一头牛的位置，想要抓住它。
农夫和牛都位于数轴上，农夫起始位于点 N，牛位于点 K。
农夫有两种移动方式：
从 X 移动到 X−1 或 X+1，每次移动花费一分钟
从 X 移动到 2∗X，每次移动花费一分钟
假设牛没有意识到农夫的行动，站在原地不动。
农夫最少要花多少时间才能抓住牛？
输入格式
共一行，包含两个整数N和K。
输出格式
输出一个整数，表示抓到牛所花费的最少时间。
数据范围
0≤N,K≤105
输入样例：
5 17
输出样例：
4
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n, k;
int q[N];
int dist[N];
int bfs()
{
memset(dist, -1, sizeof dist);
dist[n] = 0;
q[0] = n;
int hh = 0, tt = 0;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
if (t == k) return dist[k];
if (t + 1 < N && dist[t + 1] == -1)
{
dist[t + 1] = dist[t] + 1;
q[ ++ tt] = t + 1;
}
if (t - 1 >= 0 && dist[t - 1] == -1)
{
dist[t - 1] = dist[t] + 1;
q[ ++ tt] = t - 1;
}
if (t * 2 < N && dist[t * 2] == -1)
{
dist[t * 2] = dist[t] + 1;
q[ ++ tt] = t * 2;
}
}
return -1;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
cout << bfs() << endl;
return 0;
}
