动态规划——提高Ⅰ
动态规划（提高）
这玩意本质上和我前面所写的动态规划是差不多的，但是在体型，难度和思维上进行了提升，在我以后所记录的所有提高算法都是这个道理。
数字三角形模型
数字三角形模型是一个比较简单的DP模型，而且在这个模型中，用闫氏DP分析法可以很好的解决。
Hello Kitty想摘点花生送给她喜欢的米老鼠。
她来到一片有网格状道路的矩形花生地(如下图)，从西北角进去，东南角出来。
地里每个道路的交叉点上都有种着一株花生苗，上面有若干颗花生，经过一株花生苗就能摘走该它上面所有的花生。
Hello Kitty只能向东或向南走，不能向西或向北走。
问Hello Kitty最多能够摘到多少颗花生。
输入格式
第一行是一个整数T，代表一共有多少组数据。
接下来是T组数据。
每组数据的第一行是两个整数，分别代表花生苗的行数R和列数 C。
每组数据的接下来R行数据，从北向南依次描述每行花生苗的情况。每行数据有C个整数，按从西向东的顺序描述了该行每株花生苗上的花生数目M。
输出格式
对每组输入数据，输出一行，内容为Hello Kitty能摘到得最多的花生颗数。
数据范围
1≤T≤100,
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000
输入样例：
2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5
输出样例：
8
16
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T -- )
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &w[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + w[i][j];
printf("%d\n", f[n][m]);
}
return 0;
}
一个商人穿过一个 N×N 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。
他要从网格的左上角进，右下角出。
每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。
商人必须在 (2N−1) 个单位时间穿越出去。
而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。
这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。
请问至少需要多少费用？
注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。
输入格式
第一行是一个整数，表示正方形的宽度 N。
后面 N 行，每行 N 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。
输出格式
输出一个整数，表示至少需要的费用。
数据范围
1≤N≤100
输入样例：
5
1 4 6 8 10
2 5 7 15 17
6 8 9 18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33
输出样例：
109
样例解释
样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110, INF = 1e9;
int n;
int w[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
scanf("%d", &w[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == 1 && j == 1) f[i][j] = w[i][j]; // 特判左上角
else
{
f[i][j] = INF;
if (i > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]); // 只有不在第一行的时候，才可以从上面过来
if (j > 1) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][j - 1] + w[i][j]); // 只有不在第一列的时候，才可以从左边过来
}
printf("%d\n", f[n][n]);
return 0;
}
设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：
某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。
在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。
输入格式
第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。
接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。
行和列编号从 1 开始。
一行“0 0 0”表示结束。
输出格式
输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。
数据范围
N≤10
输入样例：
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
输出样例：
67
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int n;
int w[N][N];
int f[N * 2][N][N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
int a, b, c;
while (cin >> a >> b >> c, a || b || c) w[a][b] = c;
for (int k = 2; k <= n + n; k ++ )
for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++ )
for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++ )
{
int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n)
{
int t = w[i1][j1];
if (i1 != i2) t += w[i2][j2];
int &x = f[k][i1][i2];
x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
}
}
printf("%d\n", f[n + n][n][n]);
return 0;
}
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。
一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 m 行 n 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。
幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。
纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 (1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 (m,n)。
从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。
班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙，反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 0 表示），可以用一个 0∼100 的自然数来表示，数越大表示越好心。
小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。
现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
输入格式
第一行有 2 个用空格隔开的整数 m 和 n，表示学生矩阵有 m 行 n 列。
接下来的 m 行是一个 m×n 的矩阵，矩阵中第 i 行 j 列的整数表示坐在第 i 行 j 列的学生的好心程度，每行的 n 个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
数据范围
1≤n,m≤50
输入样例：
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出样例：
34
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 55;
int n, m;
int g[N][N];
int f[N * 2][N][N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &g[i][j]);
for (int k = 2; k <= n + m; k ++ )
for (int i = max(1, k - m); i <= n && i < k; i ++ )
for (int j = max(1, k - m); j <= n && j < k; j ++ )
for (int a = 0; a <= 1; a ++ )
for (int b = 0; b <= 1; b ++ )
{
int t = g[i][k - i];
if (i != j || k == 2 || k == n + m) // 除了起点和终点之外，其余每个格子只能走一次
{
t += g[j][k - j];
f[k][i][j] = max(f[k][i][j], f[k - 1][i - a][j - b] + t);
}
}
printf("%d\n", f[n + m][n][n]);
return 0;
}
最大上升子序列模型（LIS和LCS问题）
最大上升子序列模型是非常简单的模形，但是它可以演变出很多的问题，逐渐恶心。。。
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的
长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000，
−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
f[i] = 1; // 只有a[i]一个数
for (int j = 1; j < i; j ++ )
if (a[j] < a[i])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[i]);
printf("%d\n", res);
return 0;
}
上面是最基础的问题，下面我们可以演变出更多问题。
怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？
输入格式
输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。
每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。
输出格式
对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。
数据范围
1≤K≤100,
1≤N≤100,
0<h<10000
输入样例：
3
8
300 207 155 299 298 170 158 65
8
65 158 170 298 299 155 207 300
10
2 1 3 4 5 6 7 8 9 10
输出样例：
6
6
9
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int h[N];
int f[N];
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T -- )
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j ++ )
if (h[i] < h[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
memset(f, 0, sizeof f);
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
{
f[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j -- )
if (h[i] < h[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}
五一到了，ACM队组织大家去登山观光，队员们发现山上一共有N个景点，并且决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。
同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。
队员们希望在满足上面条件的同时，尽可能多的浏览景点，你能帮他们找出最多可能浏览的景点数么？
输入格式
第一行包含整数N，表示景点数量。
第二行包含N个整数，表示每个景点的海拔。
输出格式
输出一个整数，表示最多能浏览的景点数。
数据范围
2≤N≤1000
输入样例：
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例：
4
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int h[N];
int f[N], g[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j ++ )
if (h[i] > h[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
{
g[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j -- )
if (h[i] > h[j])
g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) res = max(res, f[i] + g[i] - 1);
printf("%d\n", res);
return 0;
}
N 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N−K) 位同学出列，使得剩下的 K 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设 K 位同学从左到右依次编号为 1，2…，K，他们的身高分别为 T1，T2，…，TK， 则他们的身高满足 T1<…<Ti>Ti+1>…>TK(1≤i≤K)。
你的任务是，已知所有 N 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入格式
输入的第一行是一个整数 N，表示同学的总数。
第二行有 N 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 Ti 是第 i 位同学的身高(厘米)。
输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。
数据范围
2≤N≤100,
130≤Ti≤230
输入样例：
8
186 186 150 200 160 130 197 220
输出样例：
4
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int h[N];
int f[N], g[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j ++ )
if (h[i] > h[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
{
g[i] = 1;
for (int j = n - 1; j > i; j -- )
if (h[i] > h[j])
g[i] = max(g[i], g[j] + 1);
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) res = max(res, f[i] + g[i] - 1);
printf("%d\n", n - res);
return 0;
}
```cpp
一个数的序列 bi，当 b1<b2<…<bS 的时候，我们称这个序列是上升的。
对于给定的一个序列(a1,a2,…,aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,…,aiK)，这里1≤i1<i2<…<iK≤N。
比如，对于序列(1,7,3,5,9,4,8)，有它的一些上升子序列，如(1,7),(3,4,8)等等。
这些子序列中和最大为18，为子序列(1,3,5,9)的和。
你的任务，就是对于给定的序列，求出最大上升子序列和。
注意，最长的上升子序列的和不一定是最大的，比如序列(100,1,2,3)的最大上升子序列和为100，而最长上升子序列为(1,2,3)。
输入格式
输入的第一行是序列的长度N。
第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000(可能重复)。
输出格式
输出一个整数，表示最大上升子序列和。
数据范围
1≤N≤1000
输入样例：
7
1 7 3 5 9 4 8
输出样例：
18
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int w[N];
int f[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &w[i]);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
f[i] = w[i];
for (int j = 0; j < i; j ++ )
if (w[i] > w[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + w[i]);
res = max(res, f[i]);
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。
但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。
某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。
由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，导弹数不超过1000），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。
输入格式
共一行，输入导弹依次飞来的高度。
输出格式
第一行包含一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
第二行包含一个整数，表示要拦截所有导弹最少要配备的系统数。
数据范围
雷达给出的高度数据是不大于 30000 的正整数，导弹数不超过 1000。
输入样例：
389 207 155 300 299 170 158 65
输出样例：
6
2
#include <sstream>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int h[N], f[N], q[N];
int main()
{
string line;
getline(cin, line);
stringstream ssin(line);
while (ssin >> h[n]) n ++ ;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
f[i] = 1;
for (int j = 0; j < i; j ++ )
if (h[i] <= h[j])
f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
res = max(res, f[i]);
int k = 0;
while (k < cnt && q[k] < h[i]) k ++ ;
if (k == cnt) q[cnt ++ ] = h[i];
else q[k] = h[i];
}
printf("%d\n", res);
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
为了对抗附近恶意国家的威胁，R 国更新了他们的导弹防御系统。
一套防御系统的导弹拦截高度要么一直 严格单调 上升要么一直 严格单调 下降。
例如，一套系统先后拦截了高度为 3 和高度为 4 的两发导弹，那么接下来该系统就只能拦截高度大于 4 的导弹。
给定即将袭来的一系列导弹的高度，请你求出至少需要多少套防御系统，就可以将它们全部击落。
输入格式
输入包含多组测试用例。
对于每个测试用例，第一行包含整数 n，表示来袭导弹数量。
第二行包含 n 个不同的整数，表示每个导弹的高度。
当输入测试用例 n=0 时，表示输入终止，且该用例无需处理。
输出格式
对于每个测试用例，输出一个占据一行的整数，表示所需的防御系统数量。
数据范围
1≤n≤50
输入样例：
5
3 5 2 4 1
0
输出样例：
2
样例解释
对于给出样例，最少需要两套防御系统。
一套击落高度为 3,4 的导弹，另一套击落高度为 5,2,1 的导弹。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 55;
int n;
int h[N];
int up[N], down[N];
int ans;
void dfs(int u, int su, int sd)
{
if (su + sd >= ans) return;
if (u == n)
{
ans = min(ans, su + sd);
return;
}
int k = 0;
while (k < su && up[k] >= h[u]) k ++ ;
if (k < su)
{
int t = up[k];
up[k] = h[u];
dfs(u + 1, su, sd);
up[k] = t;
}
else
{
up[k] = h[u];
dfs(u + 1, su + 1, sd);
}
k = 0;
while (k < sd && down[k] <= h[u]) k ++ ;
if (k < sd)
{
int t = down[k];
down[k] = h[u];
dfs(u + 1, su, sd);
down[k] = t;
}
else
{
down[k] = h[u];
dfs(u + 1, su, sd + 1);
}
}
int main()
{
while (cin >> n, n)
{
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> h[i];
ans = n;
dfs(0, 0, 0);
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。
输入格式
第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。
第二行包含 N 个整数，表示数列 A。
第三行包含 N 个整数，表示数列 B。
输出格式
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。
数据范围
1≤N≤3000,序列中的数字均不超过 231−1。
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 3010;
int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> b[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int maxv = 1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
if (b[j] < a[i])
maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
}
}
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = max(res, f[n][i]);
cout << res << endl;
return 0;
}
这道题不知道为什么，不能复制过来，我给个链接吧！
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
int north;
int south;//先定义一个结构体，里面包含了north（北岸城市）和south（南岸城市）
};
node a[200005];
int n,i,d[200005],len,temp;
bool cmp(node x,node y)
{
return x.north<y.north;//我们只需要对北岸排序求南岸的最长不下降子序列即可（可以反过来，对南岸排序求北岸的最长不下降子序列）
}
int main ()
{
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i].north);
scanf("%d",&a[i].south);
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);//sort结构体排序大法吼啊！
d[++len]=a[1].south;//因为最短的不下降子序列是每个数本身，所以，我们将第一个元素放进最长不下降子序列中。
for(i=2;i<=n;i++)
{
int dbzjrQwQ=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i].south)-d;
d[dbzjrQwQ]=a[i].south;
if(dbzjrQwQ>len)
{
len++;
}
}
printf("%d",len);
return 0;
}
