二分图

前言：二分图的定义和判定

二分图也称二部图，是图论里的一种特殊模型，也是一种特殊的网络流。其最大的特点在于，可以将图里的顶点分为两个集合，且集合内的点没有直接关联，如下图所示。

如果某个图为二分图，那么它至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数，任何无回路的的图均是二分图。

见图2所示，其存在回路。如：1-4-2-5-1，长度为4，偶数。任意一种都为偶数，证明略。如果在1和2之前添一条边，那就不是二分图了，如图3。

添了1--2的边后，回路就存在了1--4--2--1，长度为3，奇数，所以图3就不是二分图。

在绘图时，我发现了一个有趣的现象，当时认为其判定定理有错，后来发现，其实是自己的看法错了，跟大家分享一下。先看下图4，你会发现它存在回路，且任意一种都为偶数，但看上去不像是二分图。

其实一开始就被这个图给误导了，不用管顶点的颜色，将2和5换个位置，就可以看出来了，见图5。

如上图所示，将1、5、3分1个集合，4、2、6为1个集合，就是一个二分图。

染色法

我们从0节点依此对与他相联的边进行染色，有三种情况

• 1.如果节点没有染过色，就染上与它相反的颜色，推入队列，

• 2.如果节点染过色且相反，忽视掉

• 3.如果节点染过色且与父节点相同，证明不是二分图，return

好，我们用代码实现一下

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式
如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围
1≤n,m≤105
输入样例：
4 4
1 3
1 4
2 3
2 4
输出样例：
Yes

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!color[i])
        {
            if (!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }

    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");

    return 0;
}

匈牙利算法

算法步骤：

• 步骤一：将关联矩阵每一行减去本行的最小值，进入步骤二。

• 步骤二：将新的矩阵每一列减去本列的最小值，进入步骤三。

• 步骤三：用最少的行线和列线将新矩阵中的零全部穿起来，检查目前是否为最优分配。如果行线和列线没有将矩阵所有元素都穿起来，进入第四步，否则则进入步骤五

• 步骤四：将行线和列线没有穿起来的元素中找到最小元素，将剩余元素减去最小元素，对应行线和列线的交叉点的元素加上最小元素，

• 步骤五：找出每一行对应的0元素和列对应的0元素，根据0元素找到最优分配。
  

匈牙利算法代码实现

给定一个二分图，其中左半部包含 n1 个点（编号 1～n1），
右半部包含 n2 个点（编号 1～n2），二分图共包含 m 条
边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，
M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称
M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称
为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式
第一行包含三个整数 n1、 n2 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中
的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式
输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤105
输入样例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
输出样例：
2

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    {
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res ++ ;
    }

    printf("%d\n", res);

    return 0;
}