最小生成树（详解）
前言
最小生成树和最短路还是区别很大的，所以又双叒来写了。
Kruscal算法
最小生成树问题顾名思义，概括来说就是路修的最短。
接下来引入几个一看就明白的定义：
最小生成树相关概念：
带权图：边赋以权值的图称为网或带权图，带权图的生成树也是带权的，生成树T各边的权值总和称为该树的权。
最小生成树（MST）：权值最小的生成树。
最小生成树的性质：假设G＝(V,E)是一个连通网，U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
完成构造网的最小生成树必须解决下面两个问题：
（1）尽可能选取权值小的边，但不能构成回路；
（2）选取n－1条恰当的边以连通n个顶点；
kruskal远离更为简单粗暴，但是需要借助并查集这一知识。
克鲁斯卡尔算法的基本思想是以边为主导地位，始终选择当前可用的最小边权的边（可以直接快排或者algorithm的sort）。每次选择边权最小的边链接两个端点是kruskal的规则，并实时判断两个点之间有没有间接联通。
现在我来模拟一下:
假如有以下几个城市，之间都有相连的道路：
根据kruskal的原理，我们需要对边权dis进行排序，每次找出最小的边。
排序后，最小的边自然是第8条边，于是4和6相连。
遍历继续，第二小的边是1号，1和2联通。
再后来是边3连接1,4。
dis也是14的还有边5，它连接3,4。
其次是dis为15的边4，但是2和4已经相连了，pass。
然后是dis为16的两条边（边2和边9），边2连接1和3，边9连接3和6，它们都已经间接相连，pass。
再然后就是dis为22的边10，它连接5和6，5还没有加入组织，所以使用这边。继续，发现此时已经连接了n-1条边，结束，最后图示如下：
简单来说此算法的特点如下：
- 将所有边按权重大小从小到大排序
- 枚举每条边a，b；权重c
- if（a，b不连通）将这条边也加入集合中
kruscal代码实现
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自
环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集
合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n-1 条边构成的无向连通子
图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树
被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v
之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成
树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2*105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 200010, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int p[N];
struct Edge
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x)
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b)
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = {a, b, w};
}
int t = kruskal();
if (t == INF) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
Prim算法
运算方法是任取一个点，以这个点为集合开始，然后对所有点与这个点的距离进行更新，找出离这个集合最近的点，然后把这个点放进这个集合（所以每一次运算的时候都要判断一下这个点是否在这个集合里，所有要用到一个vister数组），然后再以这个集合继续寻找离这个集合最近的点，直到没有点存在。
Prim代码实现
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自
环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出
impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集
合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n-1 条边构成的无向连通子
图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树
被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v
之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成
树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i) res += dist[t];
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while (m -- )
{
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF) puts("impossible");
else printf("%d\n", t);
return 0;
}
