从《打家劫舍》入门动态规划

一、入门

动态规划的的四个解题步骤是：

• 定义子问题
• 写出子问题的递推关系
• 确定 DP 数组的计算顺序 （DP 数组也可以叫”子问题数组”，因为 DP 数组中的每一个元素都对应一个子问题。）
• 空间优化（可选）

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        // 子问题f(k)：从k间房中偷到的最大金钱  用dp[k]表示
        // 递推关系 f(k) = max(f(k-1), f(k-2)+第k间房的钱)
        int N = nums.size();
        vector<double> dp(N+1, 0);  // 注意vector长度为N+1, 因为加入了dp[0]表示0间房
        dp[0] = 0;  // 0间房，故金钱=0
        dp[1] = nums[0];
        for (int i = 2; i <= N; i++)
        {
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+nums[i-1]);
        }
        return dp[N];
    }
};

　　

原题：https://leetcode.cn/problems/house-robber/ 

参考题解：https://leetcode.cn/problems/house-robber/solution/dong-tai-gui-hua-jie-ti-si-bu-zou-xiang-jie-cjavap/

 

整个打家劫舍有一系列题目，可以自行leetcode搜索。

 

二、算法解释

这里我们引用一下维基百科的描述：“动态规划（Dynamic Programming, DP）在查找有很多
重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问
题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划
保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。。。动态规划只能应用于有最优
子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解（对有些问题这个要求并不能
完全满足，故有时需要引入一定的近似）。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。”

通俗一点来讲，动态规划和其它遍历算法（如深/广度优先搜索）都是将原问题拆成多个子问
题然后求解，他们之间最本质的区别是，动态规划保存子问题的解，避免重复计算。解决动态规
划问题的关键是找到状态转移方程，这样我们可以通过计算和储存子问题的解来求解最终问题。
同时，我们也可以对动态规划进行空间压缩，起到节省空间消耗的效果。这一技巧笔者将在
之后的题目中介绍。

在一些情况下，动态规划可以看成是带有状态记录（memoization）的优先搜索。状态记录的
意思为，如果一个子问题在优先搜索时已经计算过一次，我们可以把它的结果储存下来，之后遍
历到该子问题的时候可以直接返回储存的结果。动态规划是自下而上的，即先解决子问题，再解
决父问题；而用带有状态记录的优先搜索是自上而下的，即从父问题搜索到子问题，若重复搜索
到同一个子问题则进行状态记录，防止重复计算。如果题目需求的是最终状态，那么使用动态搜
索比较方便；如果题目需要输出所有的路径，那么使用带有状态记录的优先搜索会比较方便。