上极限与下极限
上下极限是我目前所学习的数列极限的理论中最抽象的概念.
定义 1：设 \(\{a_n\}\)是一个序列， \(A\in \overline{\mathbb R}.\) 若 \(A\) 的任意邻域均满足 \(\{a_n\}\) 有无穷多项落在其中，则称 \(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的一个聚点（或极限点）.
定理 1：\(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的一个聚点当且仅当存在 \(\{a_n\}\) 的子列，其极限为 \(A.\)
证明：若 \(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的一个聚点：
(1) 若 \(-\infty<A<+\infty\)，通过如下方式构造 \(\{a_n\}\) 的子序列 \(\{a_{k_n}\}\)：
(i) 从 \(A\) 的 \(1\)-邻域中选出 \(\{a_n\}\) 的某项 \(a_{k_1}\).
(ii) 从 \(A\) 的 \(1/(n+1)\)-邻域中选出 \(\{a_n\}\) 中 \(a_{k_n}\) 后的某项 \(a_{k_{n+1}}\).
从而 \(|a_{k_n}-A|\le 1/n\)，即知 \(\{a_{k_n}\}\) 收敛于 \(A.\)
(2) 若 \(A=\infty\)，同理可证存在 \(\{a_n\}\) 的子列趋于 \(\infty.\)
若存在 \(\{a_n\}\) 的子列，其极限为 \(A\). 任取 \(A\) 的邻域，根据极限定义可知当 \(n\) 充分大时，\(a_n\) 落在该邻域中，即 \(\{a_n\}\) 有无穷多项落在该邻域中，即 \(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点.
定理 2：任意序列 \(\{a_n\}\) 均存在聚点.
证明：我们已知若 \(\{a_n\}\) 有界，则 \(\{a_n\}\) 存在收敛子列；若 \(\{a_n\}\) 无上界，则存在趋于 \(+\infty\) 的子列；若 \(\{a_n\}\) 无下界，则存在趋于 \(-\infty\) 的子列。再由定理 1 可知证毕.
定理 3：设 \(E\) 是由 \(\{a_n\}\) 的聚点构成的集合，则 \(E\) 存在最大（小）值.
这里仅证明 \(E\) 存在最大值，最小值同理。
证明：由定理 2 可知 \(E\) 是非空集，令 \(a^{*}=\sup E\)，仅需证 \(a^{*}\in E\)，即 \(a^{*}\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点.
(1) 若 \(-\infty<a^{*}<+\infty\)，假设 \(a^{*}\) 不是 \(A\) 的聚点. 任取 \(\varepsilon>0\)，则 \(a^{*}-\varepsilon\) 不是 \(E\) 的上界，即存在 \(a^{*}-\varepsilon<A<a^{*}\)，使得 \(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点. 令 \(\varepsilon'=\min\{A-(a^{*}-\varepsilon),a^{*}-\varepsilon\}\)，所以 \(a^{*}\) 的 \(\varepsilon\)-邻域包含 \(A'\) 的 \(\varepsilon'\)-邻域，后者包含 \(\{a_n\}\) 的无穷多项，从而 \(a^{*}\) 的 \(\varepsilon\) 邻域包含 \(\{a_n\}\) 的无穷多项，矛盾！因此 \(a^{*}\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点；
(2) 若 \(a^{*}=-\infty\)，则 \(E=\{-\infty\}\)，从而 \(a^{*}\in E\)，即 \(a^{*}\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点；
(3) 若 \(a^{*}=+\infty\)，则 \(E\) 无上界，即对于任意 \(H>0\)，均存在 \(A\in E\)，使得 \(A>H\)，取 \(A\) 的 \((A-H)\)-邻域，其中包含 \(\{a_n\}\) 的某项 \(a_{n_0}\)，从而 \(a_{n_0}>H\). 因此 \(\{a_n\}\) 无上界，即 \(a^{*}=+\infty\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点.
定义 2：设 \(\{a_n\}\) 是序列，\(E\) 是由 \(\{a_n\}\) 的聚点构成的集合，则定义 \(\{a_n\}\) 的上极限为 \(E\) 的最大值，记为 \(a^{*}=\displaystyle\overline{\lim_{n\rightarrow\infty}}a_n\)；定义 \(\{a_n\}\) 的下极限为 \(E\) 的最小值，记为 \(a_{*}=\lim\limits_{\overline{n\rightarrow \infty}} a_n.\)
定理 4：对于任意 \(x>a^{*}\)，均存在 \(N\in \mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N\) 时有 \(a_n<x.\)
对于任意 \(x<a_{*}\)，均存在 \(N\in \mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N\) 时有 \(a_n>x.\)
证明：同样地，我们只证明第一条陈述. 假设对于任意 \(N\in \mathbb N^{+}\)，存在 \(n>N\)，使得 \(a_n\ge x\)，则 \(\{a_n\}\) 存在一个所有元素不小于 \(x\) 的子列，则该子列的任意极限点不小于 \(x\)，从而 \(\{a_n\}\) 有一极限点 \(A\) 大于 \(a^{*}\)，矛盾！从而存在符合条件的 \(N.\)
定理 5：\(a_{*}\le a^{*}\)
定理 6：设 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 是序列，且当 \(n\) 充分大时有 \(a_n\le b_n\)，则 \(a^{*}\le b^{*}\) 且 \(a_{*}\le b^{*}.\)（上下极限的保序性）
证明：假设 \(a^{*}>b^{*}\)：
(1) 若 \(-\infty<b^{*}<a^{*}<+\infty\)，令 \(x=(a+b)/2>b^{*}\)，则存在 \(N_1\in\mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N_1\) 时，\(b_n<x.\) 因为 \(a^{*}\) 是 \(\{a_n\}\) 的聚点，所以存在 \(\{a_n\}\) 的子列 \(\{a_{k_n}\}\) 收敛于 \(a^{*}\)，令 \(\varepsilon = (b-a)/2\)，存在 \(N_2\in \mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N_2\) 时，有 \(x=a^{*}-\varepsilon<a_{k_n}<a^{*}+\varepsilon\)，则当 \(n>\max\{N_1,N_2\}\) 时，有 \(a_{k_n}>x>b_{k_n}\)，矛盾.
(2) 若 \(b=-\infty\) 或 \(a=+\infty\)，同理可导出矛盾.
因此 \(a^{*}\le b^{*}\)，同理 \(a_{*}\le b_{*}.\)
定理 7：\(\lim\limits_{n\rightarrow a} a_n=a\) 当且仅当 \(a^{*}=a_{*}=a.\)
(1) 若 \(\lim\limits_{n\rightarrow a} a_n=a\)，则 \(\{a_n\}\) 的任意子列趋于 \(a\)，从而 \(E=\{a\}\)，即 \(a^{*}=a_{*}=a.\)
(2) 若 \(a^{*}=a_{*}=a\)，即 \(E=\{a\}.\)
若 \(-\infty<a<+\infty\) 时，对于任意 \(\varepsilon>0\)：
存在 \(N_1\in \mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N_1\) 时，\(a_n<a^{*}+\varepsilon=a+\varepsilon\)；
存在 \(N_2\in \mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N_2\) 时，\(a_n>a_{*}-\varepsilon=a-\varepsilon.\)
于是当 \(n>\max\{N_1,N_2\}\) 时，\(a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon.\) 从而 \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a.\)
同理，当 \(a=\infty\) 时有 \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n=a.\)
综上，\(\lim\limits_{n\rightarrow a} a_n=a\) 当且仅当 \(a^{*}=a_{*}=a.\)
定理 8：\(a^{*}=\inf\limits_{n\in \mathbb N^{*}}\sup\limits_{k\ge n} a_k,a_{*}=\sup\limits_{n\in\mathbb N^{*}}\inf\limits_{k\ge n}a_n\)（上下极限的等价定义）
证明：令 \(\alpha_n=\sup\limits_{k\ge n} a_k\).
若 \(a^{*}=+\infty\)，则存在子列 \(\{a_{k_n}\}\) 趋于 \(\infty\)，所以 \(\{a_k:k\ge n\}\) 无上界，即 \(\alpha_n=+\infty\)，因此 \(\inf\limits_{n\in \mathbb N^{*}}\sup\limits_{k\ge n} a_k=+\infty=a^{*}\).
若 \(a^{*}=-\infty\)，对于任意 \(A<0\)，均存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得 \(n>N\) 时有 \(a_n<2A\)，从而 \(\alpha_{N+1}\le 2A<A\)，即 \(\{\alpha_n:n\in\mathbb N^{+}\}\) 无下界，即 \(\inf\limits_{n\in \mathbb N^{*}}\sup\limits_{k\ge n} a_k=-\infty=a^{*}\).
若 \(-\infty<a^{*}<+\infty\)，假设 \(a^{*}>\alpha_m\) 对于某个 \(m\)，设子列 \(\{a_{k_n}\}\) 收敛于 \(a^{*}\)，令 \(\varepsilon=a^{*}-\alpha_m\)，则存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N\) 时，\(\alpha_m=a^{*}-\varepsilon<a_{k_n}<a^{*}+\varepsilon\)，从而当 \(n>\max\{N,m\}\) 时，有 \(a_{k_n}\le \sup\limits_{k\ge m}a_k=\alpha_m<a_{k_n}\)，矛盾！因此对于任意 \(n\in \mathbb N^{+}\)，都有 \(a^{*}\le \alpha_n\)，即 \(a^{*}\) 是 \(\{\alpha_n:n\in \mathbb N^{+}\}\) 的下界.
对于任意 \(x>a^{*}\)，令 \(y=(x+a^{*})/2\)，因为 \(y>a^{*}\)，所以存在 \(N\in\mathbb N^{+}\)，使得当 \(n>N\) 时，\(y>a_n\)，因此 \(y\) 是 \(\{a_k\}_{k\ge N+1}\) 的上界，所以 \(x>y\ge \sup\limits_{k\ge N+1}\{a_k\}=\alpha_{N+1}\)， 从而 \(x\) 不是 \(\{\alpha_n:n\in \mathbb N^{+}\}\) 的下界.
所以 \(a^{*}\) 是 \(\{\alpha_n:n\in \mathbb N^{+}\}\) 的下确界，即 \(a^{*}=\inf\limits_{n\in \mathbb N^{*}}\sup\limits_{k\ge n} a_k\).
综上，\(a^{*}=\inf\limits_{n\in \mathbb N^{*}}\sup\limits_{k\ge n} a_k\)，同理有 \(a_{*}=\sup\limits_{n\in\mathbb N^{*}}\inf\limits_{k\ge n}a_n.\)
同时，根据单调收敛定理，我们有 \(\displaystyle a^{*}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{k\ge n}a_k,a_{*}=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\ge n} a_k.\)
定理 9：\(a_{*}+b_{*}\le (a+b)_{*}\le a_{*}+b^{*}\le (a+b)^{*}\le a^{*}+b^{*}.\)
证明：固定 \(n\in\mathbb N^{+}\)，对于任意 \(k_0\ge n\)，都有 \(\inf\limits_{k\ge n}a_k+\inf\limits_{k\ge n}b_k\le a_{k_0}+b_{k_0}\)，因此 \(\displaystyle\inf_{k\ge n}a_k+\inf_{k\ge n}b_k\le \inf_{k\ge n}(a_k+b_k)\)，从而 \(a_{*}+b_{*}\le (a+b)_{*}.\)
对于任意 \(k_0\ge n\)，都有 \(\displaystyle a_{k_0}+\sup_{k\ge n} b_k\ge a_{k_0}+b_{k_0}\ge \inf_{k\ge n}(a_k+b_k)\)，因此 \(\displaystyle\inf_{k\ge n}a_k+\sup_{k\ge n} b_k\ge \inf_{k\ge n}(a_k+b_k)\)，从而 \(a_{*}+b^{*}\ge (a+b)_{*}.\)
对于任意 \(k_0\ge n\)，都有 \(\displaystyle\inf_{k\ge n} a_k+b_{k_0}\le a_{k_0}+b_{k_0}\le \sup_{k\ge n}(a_k+b_k)\)，因此 \(\displaystyle\inf_{k\ge n} a_k+\sup_{k\ge n}b_k\le\sup_{k\ge n}(a_k+b_k)\)，从而 \(\le a_{*}+b^{*}\le (a+b)^{*}.\)
对于任意 \(k_0\ge n\)，都有 \(\displaystyle a_{k_0}+b_{k_0}\le \sup_{k\ge n}a_k+\sup_{k\ge n} b_k\)，因此 \(\displaystyle\sup_{k\ge n}(a_k+b_k)\le \sup_{k\ge n}a_k+\sup_{k\ge n}b_k\)，从而 \((a+b)^{*}\le a^{*}+b^{*}.\)
综上，\(a_{*}+b_{*}\le (a+b)_{*}\le a_{*}+b^{*}\le (a+b)^{*}\le a^{*}+b^{*}.\)
