数学印记

摘要： 设 \(\mathbb R^n\) 指定了标准拓扑 \(\mathcal O\)，\(E\subset \mathbb R^n\)，定义 \(E\) 中的开集族 \[\mathcal O_{E}=\{O\cap E\mid O\in \mathcal O\} \]易验证 \((E,\mathcal 阅读全文

摘要： 设 \(F\) 是代数闭域，\(V\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间. 对于 \(V\) 上的线性算子 \(\mathcal A\)， \[\mathcal A=\mathcal A_s+\mathcal A_n \]称为 \(\mathcal A\) 的 Jordan-Cheval 阅读全文

摘要： 对角化 这部分是我们熟知的，在此不加证明地给出 \(V\) 上线性变换 \(\mathcal A\) 可对角化的几类刻画： (1) 存在由特征向量构成的一组基. (2) \(V\) 可分解为全体特征子空间的直和. (3) \(\mathcal A\) 的特征多项式在基础域分裂，且特征值的几何重数等于 阅读全文

摘要： 对偶空间 对于域 \(F\) 上线性空间 \(V\)，\(V\) 上的线性函数指的是映射 \(f\colon V\rightarrow F\)，满足对于任意 \(u,v\in V,\alpha,\beta\in F\)， \[f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta 阅读全文

摘要： 零测度集 Defn 1.1. 设集合 \(E\subset R\). 如果对于任意 \(\varepsilon>0\)，\(E\) 可被至多可数的开区间族 \(\{I_k\}\) 覆盖，并且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|\le \varepsilon 阅读全文

摘要： (L’Hospital law) Suppose \(f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb R\) and \(g\colon(a,b)\rightarrow \mathbb R\) are differiential in \((a,b)\) (\(-\infty\le 阅读全文

摘要： Darboux 定理：如果函数 \(f\) 在开区间 \(I\) 上有定义并且可微，\([a,b]\subset I\)，则 \(f'(x)\) 在 \([a,b]\) 上取遍 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间的一切值。 证明：若 \(f'(a)=f'(b)\)，定理自然成立，下令 阅读全文

摘要： \(C[a,b]\) 对通常意义上的函数的加法与乘法构成（含幺）交换环. 对 \(f\in C[a,b]\) 定义 \[V(f)=\{x\in[a,b]\mid f(x)=0\} \]则 \(V(f)\) 是闭集，因为对于 \(E=V(f)\) 的任意极限点 \(x_0\)，有 \[f(x_0)=\ 阅读全文

摘要： 设 \(A\in M_{m\times n}(\mathbb F)\)，令 \(r = \dim R(A),s=\dim C(A)\). 不妨设 \(A\) 的基行为前 \(r\) 行，令 \(\tilde{A}\) 为截取 \(A\) 的前 \(r\) 行所得矩阵，令 \(t=\dim C(\ti 阅读全文

摘要： 环 设 \(R\) 是赋予了加法和乘法运算的非空集合. 我们称 \(R\) 是环，如果 \((R,+)\) 是阿贝尔群，\((R,\cdot)\) 是幺半群，且 \(R\) 的乘法满足对加法的左右分配律. 若将 \((R,\cdot)\) 是幺半群的条件修改为 \((R,\cdot)\) 是半群，我 阅读全文