摘要：
设 \(A\in M_{m\times n}(\mathbb F)\)，令 \(r = \dim R(A),s=\dim C(A)\). 不妨设 \(A\) 的基行为前 \(r\) 行，令 \(\tilde{A}\) 为截取 \(A\) 的前 \(r\) 行所得矩阵，令 \(t=\dim C(\ti 阅读全文
摘要：
环 设 \(R\) 是赋予了加法和乘法运算的非空集合. 我们称 \(R\) 是环，如果 \((R,+)\) 是阿贝尔群，\((R,\cdot)\) 是幺半群，且 \(R\) 的乘法满足对加法的左右分配律. 若将 \((R,\cdot)\) 是幺半群的条件修改为 \((R,\cdot)\) 是半群，我 阅读全文
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Part 1 在开始正文部分的讨论前，先补充一些先前在 Jordan 标准型理论的构建中没考虑到的问题. 设 \(\mathcal A,\mathcal B\) 是（域 \(\mathbb F\) 上） \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换. 命题 1：设 \(f,g\in \mathb 阅读全文
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设 \(A\) 是集合，则 \({\rm card}A<{\rm card}\mathcal P(A)\). 证明：显然 \(i\colon A\longrightarrow \mathcal P(A),a\longmapsto \{a\}\) 是单射，所以 \({\rm card} A\le {\ 阅读全文
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伯恩斯坦引理：若 \({\rm card} X\le {\rm card} Y\) 且 \({\rm card} Y\le {\rm card} X\)，则 \({\rm card} X={\rm card} Y.\) 证明：由条件得存在单射 \(f\colon X\longrightarrow Y 阅读全文
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Stolz 定理是处理分式极限的强大工具，其形式类似未定式函数极限的洛必达法则. 定理一：设数列 \(\{b_n\}\) 严格单调递增且趋于 \(+\infty\). 若 \[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A 阅读全文
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注：下文若未特殊说明，默认 \(G\) 是一个群，\(\Sigma\) 是一个集合。 置换表示 \(G\) 到 \(S(\Sigma)\) 的同态 \(f:G\longrightarrow S(\Sigma)\) 称为 \(G\) 在 \(\Sigma\) 上的一个置换表示。对于每个 \(g\in 阅读全文
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我们知道，并不是所有线性变换都可以对角化，因为它要求特征多项式能分解成一次因式的乘积，并且特征值的几何重数与代数重数相等。当特征多项式能分解成一次因式的乘积，而特征值的几何重数与代数重数不一定相等时，我们将看到该线性变换仍然在一个基下的矩阵具有简单的形式，且几何重数和代数重数在该形式下被赋予了新的内 阅读全文
摘要：
上下极限是我目前所学习的数列极限的理论中最抽象的概念. 定义 1：设 \(\{a_n\}\)是一个序列， \(A\in \overline{\mathbb R}.\) 若 \(A\) 的任意邻域均满足 \(\{a_n\}\) 有无穷多项落在其中，则称 \(A\) 是 \(\{a_n\}\) 的一个聚 阅读全文
摘要：
在本文中，我尝试利用实数的完备性公理，按照一定路径证明六个经典而深刻的命题，分别是单调有界定理、柯西收敛原理、确界原理、闭区间套定理、极限点原理、和有限覆盖定理，以作为我这个月数分学习的总结。 也许未必值得指出，我们学校现行数分教材编排体系出现了一定程度的混乱，其根本原因是没有以严格的实数理论（至少 阅读全文