算法打基础——快排

快排是各种排序中算法，非常重要的一种。其用到的主要思想也是分治法。

这一节主要涉及到的知识点有：1 基本快排  2.快排的直观及数学分析  3 随机化的快排及其严格的数学分析(数学分析在算法笔记中)

1 快排的基本内容

快排啊，其基本思想也是分治法。它是一种原地排序的算法，即和插入排序一样，不需要额外的空间去存储。比如归并排序就不行了，就需要额外空间去移动着来排序

快排的divide-and-conquer步骤：

1 分裂： 将数组用一个pivot x 分成两个部分，左半部分≤x,右半部分≥x

2.conquer: 递归的去处理分裂的子数组

3.合并：原地算法，直接就是合并好的

所以，快排的分割子算法就非常重要了，下面给出线性时间的分割算法

PARTITION(A, p, q)    ⊳A[p. . q]

x←A[p]                     ⊳pivot= A[p]

i←p

for j←p+ 1 to q

    do if A[j] ≤x

          then  i←i+1
              exchange  A[i] ↔A[j]

exchange A[p] ↔A[i]

return i

用语言去叙述这个过程就是，一个坐标j记录当前位，i记录分割位，当发现某个后面的数比pivot小的时候，就将分割位往后移动一位，然后交换当前分割位和当前位(因为分割位往后了一位，这个时候分割位指的一定是比pivot大的数，交换之后正好又满足分割的条件了)

下面给出一个分割的具体实例：

有了分割的代码，整个快排就比较好解决了

QUICKSORT(A, p, r)          ⊳Initial call: QUICKSORT(A,1,n)

   if  p< r
       then q←PARTITION(A, p, r)

              QUICKSORT(A, p, q–1)
　　　　   QUICKSORT(A, q+1, r)

2.快排的直观及数学分析

快排的分析，先来分析最坏情况。快排的最坏情况还是很容易出现的，输入是已经排序的，或者是逆序的都会导致最坏情况，因为选取的主元都是最大或最小值。这就引出了下面的递归式：

T(n)=T(0)+T(n-1)+Θ(n)

      =T(n-1)+Θ(n)

这个递归式用递归树来分析，很容易得到复杂度T(n) = Θ(n²)

最坏情况是非常糟糕的，那么最好情况以及那些没有达到最坏情况的时候呢？

当我们很幸运，每次分割都将数组平均分成两部分，此时我们得到最好情况：

T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) = Θ(nlogn)

当分割都是0.1:0.9的时候呢？

显然树的两边是不平衡的，右边的高度要大，事实上，高度左边是log₁₀n 右边是log_10/9 n 

所以复杂度T(n):    cnlog₁₀n + O(n) ≤ T(n) ≤cnlog_10/9n+ Ο(n)

所以复杂度仍是 Θ(nlgn)

3 随机化版本的快排

IDEA: Partition around a random element

其方法应该是很简单咯，就是随机选一个元素作为pivot。 主要就是证明这种方法的复杂度也是 Θ(nlgn)，证明过程很多数学推导，所以我还是将其放在算法笔记当中。

最后附上自己写的快排：

/////////////////////////CLRS   video lec4  快排/////////////////////////////////////////////////
//一般情况下O(lg n)的复杂度，当输入是正序或者逆序的时候最坏情况O(n^2)  /////////////////////////////////////////////////////

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;

#define random(x)(rand()%x)

int findpar(int* arr,int p,int q)
{
    int pivot = arr[p],temp,i,j,pos;
    i=p;
    for(j=p+1;j<=q;j++)
    {
        if(arr[j]<pivot)
        {
            temp=arr[++i];
            arr[i]=arr[j];
            arr[j]=temp;
        }
    }
    temp=arr[i];
    arr[i] = pivot;
    arr[p]=temp;
    return i;
}
void quicksort(int* arr,int p,int q)
{
    int par = findpar(arr,p,q);
    if((par-1)>p)
        quicksort(arr,p,par-1);
    if((par+1)<q)
        quicksort(arr,par+1,q);
    //也可以写成
    /*
    if(p<q){
        int par = findpar(arr,p,q);
        quicksort(arr,p,par-1);
        quicksort(arr,par+1,q);
    }*/
}

int main()
{
    int a[100];
    srand((int)time(0));
    int i,j,k;
    for(i=0;i<100;i++)
    {
        a[i]=random(200);
    }
    quicksort(a,0,99);
    for(i=0;i<100;i++)
    {
        cout<<a[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}